Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 402. (December 2013)

K. 402. Prove that if the reciprocals of two consecutive odd numbers are added, the result is a fraction in which the numerator and denominator are the two smaller members of a Pythagorean triple.

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két szám \(\displaystyle 2a–1\) és \(\displaystyle 2a+1\). Reciprokaik összege: \(\displaystyle \frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2a+1}=\frac{2a-1+2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a}{4a^{2}-1}\). Ha a számláló és a nevező egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja, akkor négyzeteik összege négyzetszám. Adjuk hát össze a számláló és a nevező négyzetét: \(\displaystyle (4a)^{2}+(4a^{2}-1)^{2}=16a^{2}+16a^{4}-8a^{2}+1=16a^{4}+8a^{2}+1=(4a^{2}+1)^{2}\), ami valóban négyzetszám.


132 students sent a solution.
6 points:97 students.
5 points:5 students.
4 points:5 students.
2 points:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:16 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013