Problem K. 402. (December 2013)
K. 402. Prove that if the reciprocals of two consecutive odd numbers are added, the result is a fraction in which the numerator and denominator are the two smaller members of a Pythagorean triple.
(6 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a két szám \(\displaystyle 2a–1\) és \(\displaystyle 2a+1\). Reciprokaik összege: \(\displaystyle \frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2a+1}=\frac{2a-1+2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a}{4a^{2}-1}\). Ha a számláló és a nevező egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja, akkor négyzeteik összege négyzetszám. Adjuk hát össze a számláló és a nevező négyzetét: \(\displaystyle (4a)^{2}+(4a^{2}-1)^{2}=16a^{2}+16a^{4}-8a^{2}+1=16a^{4}+8a^{2}+1=(4a^{2}+1)^{2}\), ami valóban négyzetszám.
Statistics:
132 students sent a solution. 6 points: 97 students. 5 points: 5 students. 4 points: 5 students. 2 points: 3 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 16 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013