Problem K. 408. (January 2014)

K. 408. Show that if x, y and z are rational numbers such that x+yz, z0, and (a-1)²x+(a-1)²y-(a²-1)z=0, then a is also a rational number.

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a 16! szorzótényezőit prímtényezős felbontásban: 1, 2, 3, 2^.2, 5, 2^.3, 7, 2^.2^.2, 3^.3, 2^.5, 11, 2^.2^.3, 13, 2^.7, 3^.5, 2^.2^.2^.2. Tehát 16! prímtényezős felbontása: 2^15.3^6.5^3.7^2.11^.13. Az egyszerűsítés után megmaradó szorzat akkor lesz négyzetszám, ha minden prímtényező páros hatványon szerepel benne. Ennek alapján a 16! értékét 2-vel, 5-tel, 11-gyel és 13-mal kell mindenképpen osztanunk, így n legkisebb értéke: 2^.5^.11^.13=1430.

Statistics:

151 students sent a solution.
6 points:	122 students.
5 points:	9 students.
4 points:	3 students.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014