Problem K. 413. (February 2014)

K. 413. Determine the digits a and b such that the following equality holds: , where and denote two-digit numbers.

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a és b pozitív (vagyis egyik sem lehet 0), hiszen mindkét szám kétjegyű. , mindkét oldalt megszorozva b(10a+b)-vel: a(10a+b)+(10b+a)b=2b(10a+b). Ebből 5a²+4b²-9ab=0. A bal oldal szorzattá bontható: (5a-4b)(a-b)=0. Tehát 5a=4b vagy a=b. Az első esetben 5|4b miatt csak b=5 lehet, és így a=4. A második esetben pedig a=b adódik.

Az átalakítások ekvivalensek voltak, tehát összesen tíz megfelelő számpár van: (a;b)=(4;5), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6), (7;7), (8;8), (9;9).

Statistics:

145 students sent a solution.
6 points:	Agócs Noémi, Almási István Előd, Ardai István Tamás, Banczik Zoltán Ádám, Bödör András, Csapó Márton, Cseh Noémi, Döbröntei Dávid Bence, Hartung Éva, Hegyi Krisztina, Jakus Balázs István, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Klász Viktória, Novák Réka, Szabó Alexandra, Szalay Dorottya, Szalay Máté Csongor, Szatmári Judit, Szepesvári Csongor, Sziklai Dávid, Török Attila, Vajda Alexandra, Veres Károly.
5 points:	30 students.
4 points:	27 students.
3 points:	8 students.
2 points:	18 students.
1 point:	22 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014