Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 547. (September 2017)

K. 547. Peter thought of a positive integer. He added the number containing the same digits in reverse order. (For example, starting with 26 he added 62 to it, or starting with 530 he added 35.) He obtained a three-digit number that only contained digits of 6 and/or 9. What may have been Peter's original number?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az összeg elvileg lehetett: 669, 696, 966, 996, 969 és 699, illetve 666 és 999. Kétjegyű számot és a fordítottját összeadva 200-nál kisebb lesz az eredmény, tehát háromjegyű számra gondolt Péter (négyjegyű szám nyilván túl nagy lenne). Ha egy háromjegyű számot összeadunk a fordítottjával, akkor vagy négyjegyűt kapunk, vagy pedig olyan háromjegyűt, amelynek az első számjegye megegyezik az utolsó számjegyével, illetve ha van átvitel a két középső számjegy összeadásából, akkor (az írásbeli összeadás szabályai miatt) az első számjegy 1-gyel nagyobb az utolsónál. Így négy megfelelőnek tűnő összegünk van: 666, 999, 696, 969. A 999 nem megfelelő, mert a 9-es középső számjegy azt mutatja, hogy volt átvitel az egyeseknél (ellenkező esetben páros számot kellett volna kapnunk a két azonos középső számjegy összeadásakor), de akkor az ezreseknél is lenne átvitel. Hasonló gondolatmenettel láthatjuk, hogy a 696-ot sem kaphatjuk meg.

Ezek alapján két megfelelő összeg van, és ezek az összegek az alábbi kiindulási számokból jöhetnek létre:

666: 135, 234, 333, 432, 531, 630;

969: 138, 237, 336, 435, 534, 633, 732, 831, 930.


Statistics:

171 students sent a solution.
6 points:77 students.
5 points:41 students.
4 points:9 students.
3 points:19 students.
2 points:13 students.
1 point:9 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017