Problem K. 548. (September 2017)

K. 548. We have four boxes numbered 1 to 4, and four cards with the numbers 1, 2, 3, 4 on them. We place one card in each box, according to the following rule: every card shows the number of the box that contains the card corresponding to the number of the box containing it. In how many different ways is it possible to place the cards in the boxes?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy dobozban a saját sorszámának megfelelő cédula van, akkor az teljesíti a feltételt. Ha nem így van, akkor egy példán keresztül könnyen látható a cédulák szükséges elrendezése. Tegyük fel, hogy az 1-es dobozban van a 2-es cédula. Ebben az esetben a 2-es dobozban van az 1-es cédula a feltétel szerint. Így a dobozok páronként tartalmazzák az egymás sorszámának megfelelő cédulákat. Ebből adódóan a következő lehetőségeket kapjuk:

1. Minden dobozban a saját sorszámának megfelelő cédula van. Ez összesen 1 megfelelő elrendezést ad.

2. Két doboz egymás céduláját tartalmazza, a maradék kettő a sajátját. Ez összesen \(\displaystyle \binom42=6\) lehetőséget jelent (a két dobozt hatféleképpen tudjuk kiválasztani a 4 doboz közül).

3. Két-két doboz egymás céduláját tartalmazza. Ez 3 lehetőséget jelent (az 1-es doboz párját kell kiválasztanunk, a maradék kettő pedig egymás párja lesz).

Tehát összesen 1+6+3=10 megfelelő elrendezés van.

Statistics:

169 students sent a solution.
6 points:	72 students.
5 points:	9 students.
4 points:	35 students.
3 points:	17 students.
2 points:	14 students.
1 point:	2 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017