A K. 549. feladat (2017. szeptember)

K. 549. Egy úton három autó halad azonos irányban, mindegyik más-más sebességgel, de egyenletes tempóval. Az autók az úton egymás mögött hatféle sorrendben helyezkedhetnek el (elvileg). Létrejöhet-e útjuk során mind a hat lehetséges sorrend?

Javasolta: Loránt László (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az autók kezdeti sorrendje \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) (\(\displaystyle C\) van legelöl). Törekedjünk arra, hogy minden lehetséges sorrendet megvalósítsunk. Ekkor \(\displaystyle C\) nem lehet \(\displaystyle A\)-nál gyorsabb, mert \(\displaystyle A\) nem tudna előre kerülni, és \(\displaystyle C\) \(\displaystyle B\)-nél sem lehet gyorsabb, mert akkor a \(\displaystyle B\) sem tudna vele helyet cserélni. Tehát \(\displaystyle C\) a leglassabb. Ha \(\displaystyle A\) nem gyorsabb, mint \(\displaystyle B\), akkor \(\displaystyle A\) mindig \(\displaystyle B\) mögött marad, de ez nem megfelelő, tehát \(\displaystyle A\) a leggyorsabb. \(\displaystyle A\) tehát meg fogja előzni \(\displaystyle B\)-t és \(\displaystyle C\)-t, \(\displaystyle B\) pedig meg fogja előzni \(\displaystyle C\)-t. Ez összesen 3 előzés, ami 4-féle sorrendet fog eredményezni. Tehát nem állhat elő mind a hatféle sorrend.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	94 versenyző.
5 pontot kapott:	18 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai