Problem K. 549. (September 2017)

K. 549. Three cars are travelling along the same road, in the same direction but at different uniform speeds. In principle, there are six possible orders for the three cars behind each other. Is it possible that all six orders actually occur during their journey?

(Proposed by L. Loránt, Budapest)

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az autók kezdeti sorrendje \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) (\(\displaystyle C\) van legelöl). Törekedjünk arra, hogy minden lehetséges sorrendet megvalósítsunk. Ekkor \(\displaystyle C\) nem lehet \(\displaystyle A\)-nál gyorsabb, mert \(\displaystyle A\) nem tudna előre kerülni, és \(\displaystyle C\) \(\displaystyle B\)-nél sem lehet gyorsabb, mert akkor a \(\displaystyle B\) sem tudna vele helyet cserélni. Tehát \(\displaystyle C\) a leglassabb. Ha \(\displaystyle A\) nem gyorsabb, mint \(\displaystyle B\), akkor \(\displaystyle A\) mindig \(\displaystyle B\) mögött marad, de ez nem megfelelő, tehát \(\displaystyle A\) a leggyorsabb. \(\displaystyle A\) tehát meg fogja előzni \(\displaystyle B\)-t és \(\displaystyle C\)-t, \(\displaystyle B\) pedig meg fogja előzni \(\displaystyle C\)-t. Ez összesen 3 előzés, ami 4-féle sorrendet fog eredményezni. Tehát nem állhat elő mind a hatféle sorrend.

Statistics:

153 students sent a solution.
6 points:	94 students.
5 points:	18 students.
4 points:	19 students.
3 points:	7 students.
2 points:	8 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017