Problem K. 551. (September 2017)

K. 551. Find appropriate positive integers \(\displaystyle x > y > z\) such that

\(\displaystyle \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{z^{2}} \)

should hold.

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle 1/x^2 + 1/y^2 = 1/z^2\) felírható \(\displaystyle (1/x)^2 + (1/y)^2 = (1/z)^2\) alakban is. Erről eszünkbe juthatnak a pitagoraszi számhármasok, melyek közül a legkisebb a \(\displaystyle 3^2 + 4^2 = 5^2\). Ha ezt az összefüggést egy pozitív egész számmal osztjuk, továbbra is igaz marad: \(\displaystyle 3^2/n + 4^2/n = 5^2/n\). Ha pedig ügyesen választjuk meg ezt a számot, akkor egyszerűsíteni is tudunk vele: \(\displaystyle 3^2/(3\cdot4\cdot5)^2 + 4^2/(3\cdot4\cdot5)^2 = 5^2/(3\cdot4\cdot5)^2\), ahonnan \(\displaystyle 1/(4\cdot5)^2 + 1/(3\cdot5)^2 = 1/(3\cdot4)^2\). Tehát három megfelelő szám: \(\displaystyle x = 20\), \(\displaystyle y = 15\), \(\displaystyle z = 12\).

Statistics:

72 students sent a solution.
6 points:	Bagyinszki Ádám, Balogh Domonkos, Berényi Dorottya Elanor, Buzás Bence István, Csatári Alina, Cserkuti Sándor, Csuka Csenge, Dormán Mihály Vilmos, Falus Hanga, Feczkó Csongor, Fekete Levente, Fodor Vanda, Fonyi Máté Sándor, Gulyás Zsolt, Györgyfalvai Fanni, H. Tóth Noel, Hajnal Frida, Horcsin Bálint, Hovodzák Orsolya, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kósa Gergely, Lakatos Enikő, Peres Vivien, Pethő Gábor, Petri Gyula, Rassai Erik, Schenk Anna, Simon Gergely, Sümegi Géza, Szita Gergely, Takács Dóra, Thomay Gábor, Zempléni Lilla.
5 points:	Andó Lujza, Glavosits Villő, Lengyel Katalin, Szanyikovách Sebő, Tompos Anna, Viharos Márta Judit, Werner Fülöp Péter.
4 points:	1 student.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	22 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017