Problem K. 552. (September 2017)

K. 552. What is the largest divisor of 9900 that is divisible by 22, 33 and 55, but not divisible by 44, 50 or 99?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a szám osztható 22-vel, 33-mal és 55-tel, akkor ezek legkisebb közös többszörösével is, ami \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot11\), azaz a szám prímtényezői között ezek biztosan szerepelnek. Másrészt a szám osztója \(\displaystyle 9900=2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot11\)-nek, ezért csak ezekből a prímtényezőkből válogathatunk. Mivel nem osztható \(\displaystyle 44=2^2\cdot11\)-gyel, így 2-es szorzó pontosan egy van a számban; mivel nem osztható \(\displaystyle 50=2\cdot5^2\)-nal, így 5-ös szorzó is pontosan egy van a számban, végül nem osztható \(\displaystyle 99=11\cdot3^2\)-nal, így egynél több 3-as szorzó sem lehet benne. Ezek alapján a legnagyobb megfelelő szám a \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot11=330\).

Statistics:

161 students sent a solution.
6 points:	80 students.
5 points:	34 students.
4 points:	3 students.
3 points:	11 students.
2 points:	10 students.
1 point:	11 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017