Problem K. 554. (October 2017)

K. 554. The integers 1 to 2017 are listed as follows: first those numbers not divisible by 3 are written down in increasing order. Then the list continues with those numbers that are divisible by 3 but not divisible by 9, followed by those divisible by 9 but not divisible by 27, and so on.

\(\displaystyle a)\) What is the last number of the list?

\(\displaystyle b)\) In which position will 2017 be in the list?

\(\displaystyle c)\) In which position will 2016 be in the list?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Mivel \(\displaystyle 3^6=729\) és \(\displaystyle 3^7=2187>2017\), ezért az utolsóként leírt szám a \(\displaystyle 729\) azon többszöröse lesz, ami nem nagyobb \(\displaystyle 2017\)-nél. Ez pedig a \(\displaystyle 2\cdot729=1458\).

b) Mivel \(\displaystyle 2016\) számjegyeinek összege \(\displaystyle 9\), ezért osztható \(\displaystyle 9\)-cel és így \(\displaystyle 3\)-mal is, \(\displaystyle 2016/3=672\). A \(\displaystyle 2017=2016+1\) pedig nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal. \(\displaystyle 2016\)-ig \(\displaystyle 2\cdot672=1344\) darab, \(\displaystyle 3\)-mal nem osztható szám van, így a \(\displaystyle 2017\) az \(\displaystyle 1345\). leírt szám lesz.

c) Már láttuk, hogy \(\displaystyle 2016\) osztható \(\displaystyle 9\)-cel: \(\displaystyle 2016/9=224\). Ez már nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal, hiszen a számjegyeinek összege \(\displaystyle 8\). Tehát \(\displaystyle 2016\) nem osztható \(\displaystyle 27\)-tel.

Már láttuk, hogy \(\displaystyle 3\)-mal nem osztható szám \(\displaystyle 1344\) darab van \(\displaystyle 2017\)-ig. \(\displaystyle 3\)-mal osztható \(\displaystyle 672\), \(\displaystyle 9\)-cel osztható \(\displaystyle 2016/9=224\). Tehát olyan, ami \(\displaystyle 3\)-mal osztható, de \(\displaystyle 9\)-cel nem, az \(\displaystyle 672-224\) darab van. Mivel \(\displaystyle 2016/27=74 \frac69\), ezért \(\displaystyle 74\) darab \(\displaystyle 27\)-tel osztható szám van. Tehát olyan szám, ami \(\displaystyle 9\)-cel osztható, de \(\displaystyle 27\)-tel nem, \(\displaystyle 224-74\) darab van, ebből az utolsó a \(\displaystyle 2016\). Tehát a \(\displaystyle 2016\) a sorban az \(\displaystyle 1345+(672-224)+(224-74)=1943\).

Statistics:

169 students sent a solution.
6 points:	100 students.
5 points:	41 students.
4 points:	14 students.
3 points:	9 students.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017