Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem K. 557. (October 2017)

K. 557. The midpoints of the sides of a square $\displaystyle ABCD$ are $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$, $\displaystyle R$ and $\displaystyle S$. They are connected to the vertices of the square as shown in the figure. Prove that $\displaystyle AT = TV$.

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Szimmetria miatt $\displaystyle T$ és $\displaystyle V$ az $\displaystyle AC$ átló egyenesén vannak, $\displaystyle AK=KC$ és $\displaystyle TK=KV$.

Az $\displaystyle ABD$ háromszögnek $\displaystyle T$ a súlypontja, mert $\displaystyle BS$ és $\displaystyle DP$ súlyvonalak. A $\displaystyle DBC$ háromszögnek $\displaystyle V$ a súlypontja, mert $\displaystyle BR$ és $\displaystyle DQ$ súlyvonalak. A háromszög súlypontja a csúcstól távolabbi harmadoló pont a súlyvonalon. Ezért $\displaystyle AT = 2TK=TK+ KV =TV$.

### Statistics:

 122 students sent a solution. 6 points: 53 students. 5 points: 22 students. 4 points: 13 students. 3 points: 7 students. 2 points: 6 students. 1 point: 8 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 12 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017