Problem K. 558. (October 2017)
K. 558. For which positive integers \(\displaystyle n\) will \(\displaystyle n^{4}+n^{2}+1\) be a prime?
(6 pont)
Deadline expired on November 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Első megoldás. Próbáljuk ki az első néhány egész számot!
| \(\displaystyle n\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | ... |
| \(\displaystyle n^4+n^2+1\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 21\) | \(\displaystyle 91\) | \(\displaystyle 273\) | \(\displaystyle 651\) | \(\displaystyle 1333\) | ... |
| szorzatalak | \(\displaystyle 1\cdot 3\) | \(\displaystyle 3 \cdot 7\) | \(\displaystyle 7\cdot 13\) | \(\displaystyle 13\cdot 21\) | \(\displaystyle 21 \cdot 31\) | \(\displaystyle 31 \cdot 43\) | ... |
Sejtés: \(\displaystyle n^4+n^2+1=(n\cdot(n-1)+1)\cdot(n\cdot (n+1)+1)\) minden \(\displaystyle n\)-re.
Bizonyítás: \(\displaystyle (n\cdot(n-1)+1)\cdot(n\cdot (n+1)+1)=(n^2-n+1)(n^2+n+1)=n^4+n^3+n^2-n^3-n^2-n+n^2+n+1=n^4+n^2+1\).
Prímszámot csak abban az esetben kaphatunk, ha az egyik (a kisebb) tényező \(\displaystyle 1\).
Az \(\displaystyle n^2-n+1=1\) egyenletből \(\displaystyle n^2=n\), ami \(\displaystyle n = 0\), illetve \(\displaystyle n = 1\) esetén teljesül.
Így \(\displaystyle n = 1\) az egyetlen pozitív megoldás. (\(\displaystyle 1 + 1 + 1 = 3\), ami prímszám.)
Második megoldás. \(\displaystyle n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2=(n^2+1+n)(n^2+1-n)\).
Prímszámot csak abban az esetben kaphatunk, ha az egyik (a kisebb) tényező \(\displaystyle 1\).
Az \(\displaystyle n^2-n+1=1\) egyenletből \(\displaystyle n^2=n\), ami \(\displaystyle n = 0\), illetve \(\displaystyle n = 1\) esetén teljesül.
Így \(\displaystyle n = 1\) az egyetlen pozitív megoldás. (\(\displaystyle 1 + 1 + 1 = 3\), ami prímszám.)
Statistics:
121 students sent a solution. 6 points: 67 students. 5 points: 5 students. 4 points: 2 students. 3 points: 3 students. 2 points: 11 students. 1 point: 21 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 10 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017