Problem K. 559. (November 2017)

K. 559. How many at most six-digit numbers are there in which each of the digits 1, 2, 3, 4, 5 occurs exactly once?

(6 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel öt számjegy van, ezért legalább ötjegyű a szám. Készítsünk először ötjegyű számokat, ezekből összesen \(\displaystyle 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\) db van. Ha hatjegyű számot akarunk készíteni, akkor a megfelelő ötjegyű számokat pontosan egy, 5-nél nagyobb számjeggyel vagy 0-val kell kiegészíteni. 0-t összesen 5 helyre illeszthetünk be, így az ilyen módon kapható hatjegyű számokból összesen \(\displaystyle 5\cdot120=600\) db van. A többi számjegyet már előre is, tehát 6 helyre illeszthetjük be, ezekből tehát típusonként \(\displaystyle 6\cdot120=720\) darab van. Mivel a beilleszthető számjegyek darabszáma 4, ezért összesen \(\displaystyle 4\cdot720\) megfelelő számot találunk. A keresett legfeljebb hatjegyű számok száma tehát \(\displaystyle 120+600+4\cdot720=3600\).

Statistics:

193 students sent a solution.
6 points:	118 students.
5 points:	15 students.
4 points:	20 students.
3 points:	8 students.
2 points:	18 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017