A K. 567. feladat (2017. december)

K. 567. Melyek azok az 1000-nél kisebb pozitív egész \(\displaystyle n\) számok, melyek négyzetének végződése éppen \(\displaystyle n\)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) egyjegyű szám, akkor ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle n^2-n=n(n-1)\) osztható \(\displaystyle 10\)-zel. Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n – 1\) különböző paritásúak, azért a szorzatuk biztosan páros, és így \(\displaystyle n(n-1)\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle 10\)-zel, ha \(\displaystyle n\) vagy \(\displaystyle n–1\) osztható \(\displaystyle 5\)-tel, azaz \(\displaystyle n = 1\), \(\displaystyle 5\), illetve \(\displaystyle 6\) esetén.

Ha \(\displaystyle n\) kétjegyű szám, akkor \(\displaystyle n^2-n=n(n-1)\) osztható \(\displaystyle 100\)-zal. Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n – 1\) szomszédos egészek, így relatív prímek, tehát az egyik tényező osztható \(\displaystyle 25\)-tel, a másik \(\displaystyle 4\)-gyel. Ez \(\displaystyle n = 25\), illetve \(\displaystyle 76\) esetén teljesül.

Ha \(\displaystyle n\) háromjegyű szám, akkor \(\displaystyle n^2-n=n(n-1)\) osztható \(\displaystyle 1000\)-rel. Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n – 1\) szomszédos egészek, így relatív prímek, tehát az egyik tényező osztható \(\displaystyle 125\)-tel, a másik \(\displaystyle 8\)-cal. A \(\displaystyle 125\) többszöröseit megnézve (\(\displaystyle n\)-re, vagy (\(\displaystyle n–1\))-re) ez \(\displaystyle n = 376\), illetve \(\displaystyle 625\) esetén teljesül.

Tehát a megfelelő 1000-nél kisebb számok: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 76\), \(\displaystyle 376\), \(\displaystyle 625\).

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	53 versenyző.
5 pontot kapott:	9 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai