Problem K. 567. (December 2017)

K. 567. Find all positive integers \(\displaystyle n\) less than 1000 whose square ends in \(\displaystyle n\).

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) egyjegyű szám, akkor ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle n^2-n=n(n-1)\) osztható \(\displaystyle 10\)-zel. Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n – 1\) különböző paritásúak, azért a szorzatuk biztosan páros, és így \(\displaystyle n(n-1)\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle 10\)-zel, ha \(\displaystyle n\) vagy \(\displaystyle n–1\) osztható \(\displaystyle 5\)-tel, azaz \(\displaystyle n = 1\), \(\displaystyle 5\), illetve \(\displaystyle 6\) esetén.

Ha \(\displaystyle n\) kétjegyű szám, akkor \(\displaystyle n^2-n=n(n-1)\) osztható \(\displaystyle 100\)-zal. Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n – 1\) szomszédos egészek, így relatív prímek, tehát az egyik tényező osztható \(\displaystyle 25\)-tel, a másik \(\displaystyle 4\)-gyel. Ez \(\displaystyle n = 25\), illetve \(\displaystyle 76\) esetén teljesül.

Ha \(\displaystyle n\) háromjegyű szám, akkor \(\displaystyle n^2-n=n(n-1)\) osztható \(\displaystyle 1000\)-rel. Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n – 1\) szomszédos egészek, így relatív prímek, tehát az egyik tényező osztható \(\displaystyle 125\)-tel, a másik \(\displaystyle 8\)-cal. A \(\displaystyle 125\) többszöröseit megnézve (\(\displaystyle n\)-re, vagy (\(\displaystyle n–1\))-re) ez \(\displaystyle n = 376\), illetve \(\displaystyle 625\) esetén teljesül.

Tehát a megfelelő 1000-nél kisebb számok: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 76\), \(\displaystyle 376\), \(\displaystyle 625\).

Statistics:

121 students sent a solution.
6 points:	53 students.
5 points:	9 students.
4 points:	31 students.
3 points:	5 students.
2 points:	21 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017