Problem K. 568. (December 2017)

K. 568. \(\displaystyle a)\) Find a set of four different prime numbers less than 50 such that the sum of any three of them is also a prime.

\(\displaystyle b)\) Are there five different positive primes such that the sum of any three of them is also a prime?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Például: \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\), \(\displaystyle 31\) (\(\displaystyle 11 + 17 + 19 = 47\), \(\displaystyle 11 + 17 + 31 = 59\), \(\displaystyle 11 + 19 + 31 = 61\), \(\displaystyle 17 + 19 + 31 = 67\)).

b) Ha az öt prímszám között nem szerepel a három, akkor mindegyik prímszám hárommal osztva \(\displaystyle 1\)-et vagy \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul. Öt ilyen szám között mindig van három azonos típusú, tehát három olyan, amelyik azonos maradékot ad \(\displaystyle 3\)-mal osztva, így összegük osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Mivel három prímszám összege mindenképpen nagyobb \(\displaystyle 3\)-nál, ezért ez az összeg nem lehet prímszám.

Ha az öt prímszám között szerepel a \(\displaystyle 3\), és köztük nincs három darab \(\displaystyle 3\)-mal osztva azonos maradékot adó szám, akkor biztosan van olyan, amelyik \(\displaystyle 1\)-et, és van olyan, amelyik \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul \(\displaystyle 3\)-mal osztva. Ebben az esetben ez a két szám és a \(\displaystyle 3\) összeadva \(\displaystyle 3\)-mal osztható, de \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb számot eredményez, tehát ez sem lehet prím.

Vagyis nem adható meg öt ilyen prím.

Statistics:

96 students sent a solution.
6 points:	51 students.
5 points:	3 students.
4 points:	16 students.
3 points:	21 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017