Problem K. 569. (December 2017)

K. 569. Determine the four-digit positive integer \(\displaystyle \overline{abcd}\) for which \(\displaystyle \overline{abcd} =a^{a}+b^{b}+c^{c}+d^{d}\).

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle 1^1=1\), \(\displaystyle 2^2=4\), \(\displaystyle 3^3=27\), \(\displaystyle 4^4=256\), \(\displaystyle 5^5=3125\), \(\displaystyle 6^6=46656\), ami már túl nagy szám, így a négyjegyű számban 5-nél nagyobb számjegy nem szerepel. Mivel \(\displaystyle 4\cdot256=1024\neq4444\), ezért az 5-nek szerepelnie kell, mert csak így lesz négyjegyű a szám.

A keresett számban csak egy számjegy lehet \(\displaystyle 5\), különben \(\displaystyle a > 5\) lenne.

Az első számjegy biztosan \(\displaystyle 3\), mert \(\displaystyle 3125 + 256 + 256 + 256=3893\) is kisebb \(\displaystyle 4000\)-nél.

Két számjegyet ismerünk eddig: \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\).

Eddig \(\displaystyle 3125 + 27 = 3152\) a két ismert számjegyből adódó összeg.

Ha a négyjegyű számban nem szerepel \(\displaystyle 4\)-es számjegy, akkor hat esetet kell végignéznünk, egyik sem jó. (\(\displaystyle 3152 + 1 + 1 = 3154\), \(\displaystyle 3152 + 1 + 4 = 3157\), \(\displaystyle 3152 + 1 + 27 = 3180\), \(\displaystyle 3152 + 4 + 4 = 3160\), \(\displaystyle 3152 + 4 + 27 = 3183\), \(\displaystyle 3152 + 27 + 27 = 3206\).)

Ha a négyjegyű számban szerepel \(\displaystyle 4\)-es számjegy, akkor csak egyszer szerepelhet, hiszen ha kétszer van benne, akkor \(\displaystyle 3152+2\cdot256=3664\), ami nem jó.

\(\displaystyle 3152 + 256 = 3408\), amihez \(\displaystyle 1\)-et, \(\displaystyle 4\)-et, vagy \(\displaystyle 27\)-et adhatunk, de csak a \(\displaystyle 27\) a jó.

A keresett négyjegyű szám a \(\displaystyle 3435\) (\(\displaystyle 3^3+4^4+3^3+5^5=3435\)).

Statistics:

91 students sent a solution.
6 points:	58 students.
5 points:	5 students.
2 points:	22 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017