Problem K. 570. (December 2017)

K. 570. Five bystanders are trying predict the outcome of a football game. They make the following statements about the two teams, Team Fox and Team Wolf.

Aron: Team Fox will score more than Team Wolf. Team Wolf will score at least 2 goals.

Bob: The game will not be a draw. Team Fox will score 1 goal.

Cecil: The winning team will win by 2 goals. At half-time, Team Wolf will have scored more.

Dan: Team Wolf will not score any goal. Team Fox will win the game.

Eve: In the second half of the game, Team Fox will score twice as many goals as Team Wolf. The game will be a draw.

We know that finally there was no own goal during the game, and everyone had one true and one false statement in the above list. What is the final result of the game?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a meccs döntetlennel érne véget, akkor Belizár első állítása hamis lenne, így a második igaz lenne, a Rókák tehát 1 gólt lőnének. Azonban ekkor a Farkasoknak is 1 gólt kéne lőni, így Ambustán egyik állítása sem lenne igaz.

Tehát a mérkőzés nem döntetlennel ért véget, és a Rókák nem 1 gólt lőttek.

Ha a Farkasok nyerték a meccset, akkor Ambustán első állítása és Dezmér második állítása is hamis, vagyis a két fiú másik állítása igaz. Ekkor azonban a Farkasoknak egyszerre kéne 0, illetve legalább 2 gólt lőni, ami nem lehet. Tehát a meccset a Rókák nyerték és a két fiú hamis állításai miatt a Farkasok 1 gólt lőttek.

Mivel a mérkőzés nem döntetlennel zárult, ezért Ekese első állítása igaz, azaz a második félidőben a Rókák kétszer annyi gólt rúgtak, mint a Farkasok. Ha a félidőben a Farkasok állnának nyerésre Ciporján második állítása szerint, akkor a második félidőben már nem rúghatott volna gólt egyik csapat sem (mert már megvan a Farkasok 1 gólja), így nem nyerhettek volna a Rókák. Tehát a Farkasok két góllal kaptak ki, azaz 3:1 lett a végeredmény a Rókák javára.

Statistics:

152 students sent a solution.
6 points:	66 students.
5 points:	12 students.
4 points:	16 students.
3 points:	17 students.
2 points:	8 students.
1 point:	25 students.
0 point:	8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017