 |
A K. 574. feladat (2018. január) |
K. 574. Egy pozitív \(\displaystyle N\) számjegyeinek összege ugyanannyi, mint a szám kétszeresében a számjegyek összege.
\(\displaystyle a)\) Keressünk egy-egy ilyen kétjegyű, háromjegyű és négyjegyű számot.
\(\displaystyle b)\) Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle N\) osztható 9-cel.
(6 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Például: \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 108\), \(\displaystyle 1008\).
b) Első megoldás. Mivel a számjegyek összegének ugyanannyi a \(\displaystyle 9\)-es maradéka, mint a szám \(\displaystyle 9\)-es maradéka, így olyan számot kell keresnünk, ami ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 9\)-cel osztva, mint a kétszerese.
| A szám \(\displaystyle 9\)-es maradéka | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| A szám kétszeresének \(\displaystyle 9\)-es maradéka | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Csak a \(\displaystyle 9\)-cel osztható számok ilyenek.
Második megoldás. Jelöljük \(\displaystyle S(N)\)-nel az \(\displaystyle N\) szám jegyeinek összegét. Egy szám számjegyeinek összege ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 9\)-cel osztva, mint a szám. Így \(\displaystyle N – S(N)\) és \(\displaystyle 2N – S(2N)\) osztható \(\displaystyle 9\)-cel, és így a különbségük is. Mivel \(\displaystyle S(2N) = S(N)\), így \(\displaystyle (2N – S(2N)) – (N – S(N)) = N\) osztható \(\displaystyle 9\)-cel.
Statisztika:
98 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andó Lujza, Bagyinszki Ádám, Balkányi Zsófia, Balogh Domonkos, Berényi Dorottya Elanor, Buzás Bence István, Csatári Alina, Cserkuti Sándor, Éliás Orsolya, Farkas 200 Eszter, Fazakas Luca, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Gárdi Bálint, Gazda Fanni, H. Tóth Noel, Horcsin Bálint, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Koleszár Kristóf, Kovács 314 Balázs, Kovács 987 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Lakatos Enikő, Mácsai Dániel, Rassai Erik, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Sümegi Géza, Takács Dóra, Tóth Lilla Eszter , Tóth-Szabad István, Zempléni Lilla. 5 pontot kapott: Bulátkó Márton János, Nagy009Dávid, Tálas József Soma, Tompos Anna. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 20 versenyző. 2 pontot kapott: 32 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2018. januári matematika feladatai