Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 574. (January 2018)

K. 574. The sum of the digits of a positive number \(\displaystyle N\) is the same as the sum of the digits in its double.

\(\displaystyle a)\) Find a two-digit number, a three-digit number, and a four-digit number with this property.

\(\displaystyle b)\) Show that \(\displaystyle N\) is divisible by 9.

(6 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Például: \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 108\), \(\displaystyle 1008\).

b) Első megoldás. Mivel a számjegyek összegének ugyanannyi a \(\displaystyle 9\)-es maradéka, mint a szám \(\displaystyle 9\)-es maradéka, így olyan számot kell keresnünk, ami ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 9\)-cel osztva, mint a kétszerese.

A szám \(\displaystyle 9\)-es maradéka 0 1 2 3 4 5 6 7 8
A szám kétszeresének \(\displaystyle 9\)-es maradéka 0 2 4 6 8 1 3 5 7

Csak a \(\displaystyle 9\)-cel osztható számok ilyenek.

Második megoldás. Jelöljük \(\displaystyle S(N)\)-nel az \(\displaystyle N\) szám jegyeinek összegét. Egy szám számjegyeinek összege ugyanannyi maradékot ad \(\displaystyle 9\)-cel osztva, mint a szám. Így \(\displaystyle N – S(N)\) és \(\displaystyle 2N – S(2N)\) osztható \(\displaystyle 9\)-cel, és így a különbségük is. Mivel \(\displaystyle S(2N) = S(N)\), így \(\displaystyle (2N – S(2N)) – (N – S(N)) = N\) osztható \(\displaystyle 9\)-cel.


Statistics:

98 students sent a solution.
6 points:Andó Lujza, Bagyinszki Ádám, Balkányi Zsófia, Balogh Domonkos, Berényi Dorottya Elanor, Buzás Bence István, Csatári Alina, Cserkuti Sándor, Éliás Orsolya, Farkas 200 Eszter, Fazakas Luca, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Gárdi Bálint, Gazda Fanni, H. Tóth Noel, Horcsin Bálint, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Koleszár Kristóf, Kovács 314 Balázs, Kovács 987 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Lakatos Enikő, Mácsai Dániel, Rassai Erik, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Sümegi Géza, Takács Dóra, Tóth Lilla Eszter , Tóth-Szabad István, Zempléni Lilla.
5 points:Bulátkó Márton János, Nagy009Dávid, Tálas József Soma, Tompos Anna.
4 points:4 students.
3 points:20 students.
2 points:32 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018