Problem K. 578. (February 2018)

K. 578. The positive integers 1 to \(\displaystyle n\) are written in the fields of the upper row of a \(\displaystyle 2 \times n\) table, in increasing order. The same numbers are written in the lower row, in decreasing order. How many positive integers \(\displaystyle n\) smaller than 50 are there for which every number in the upper row is relatively prime to the number directly below?

(6 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy szám és az alatta lévő szám összege \(\displaystyle n + 1\). Ha \(\displaystyle n + 1\) összetett szám (pl. osztható \(\displaystyle k\)-val, ahol \(\displaystyle 1 < k < n\)), akkor \(\displaystyle k\) és a párja, \(\displaystyle n + 1 – k\) osztható lesz \(\displaystyle k\)-val, tehát nem relatív prímek. Ha \(\displaystyle n + 1\) prímszám, akkor \(\displaystyle k\) és a párja, \(\displaystyle n + 1 – k\) relatív prímek, mert ha lenne \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb közös osztójuk, akkor az osztója lenne az \(\displaystyle n + 1\) prímszámnak, ami nem lehetséges. Tehát az a kérdés, hogy milyen \(\displaystyle 1 \leq n < 50\) esetén lesz \(\displaystyle n+1\) prímszám, vagyis a \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 50\) közötti prímszámok számát keressük. Ez pedig \(\displaystyle 15\): \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 13\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\), \(\displaystyle 23\), \(\displaystyle 29\), \(\displaystyle 31\), \(\displaystyle 37\), \(\displaystyle 41\), \(\displaystyle 43\), \(\displaystyle 47\).

Statistics:

77 students sent a solution.
6 points:	Andó Lujza, Bagyinszki Ádám, Balkányi Zsófia, Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Csatári Alina, Cserkuti Sándor, Dorn Anna, Fonyi Máté Sándor, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Kulcsár Kevin, Nagy Viola, Ottó Panna, Rassai Erik, Sas 202 Mór, Schenk Anna, Sümegi Géza, Szanyikovách Sebő, Takács András, Tálas József Soma, Tóth Gellért, Zempléni Lilla.
5 points:	Ábri Attila Gergő, Buzás Bence István, Buzsi Ádám, Csépai Szilárd Áron, Farkas 200 Eszter, Fekete András Albert, Fekete Levente, Gazda Fanni, Györgyfalvai Fanni, Hajdu Andor, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kiss 728 Blanka, Koleszár Csoma, Kovács 987 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Laczai Lénárd, Lázár Réka, Mácsai Dániel, Mészáros Katalin, Nagy009Dávid, Orosz Bence, Petri Gyula, Takács Dóra, Trombitás Hanna Lívia, Werner Fülöp Péter.
4 points:	3 students.
3 points:	10 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018