Problem K. 580. (February 2018)

K. 580. For what right-angled triangles is it true that \(\displaystyle x> 2(z -y)\), provided \(\displaystyle z> y \ge x\)?

(6 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle z > y ≥ x\), így \(\displaystyle z\) az átfogó és \(\displaystyle x\) a legkisebb oldal. A \(\displaystyle z\) átfogójú derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tételt felírva: \(\displaystyle x^2 = z^2 – y^2 = (z – y)(z + y)\). Mivel \(\displaystyle x\) a legkisebb oldal, így \(\displaystyle z + y > 2x\), ezt a tételbe beírva \(\displaystyle x^2 = (z – y)(z + y)> (z – y)·\cdot x\), ebből \(\displaystyle x > 0\) miatt \(\displaystyle x > 2(z –y)\). Tehát az egyenlőtlenség minden derékszögű háromszögre teljesül.

Statistics:

49 students sent a solution.
6 points:	Andó Lujza, Balogh Domonkos, Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Cserkuti Sándor, Fekete András Albert, Fekete Levente, Györgyfalvai Fanni, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Kadem Aziz, Kovács 987 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Sas 202 Mór, Sümegi Géza, Zempléni Lilla.
5 points:	Fonyi Máté Sándor, H. Tóth Noel, Schenk Anna, Selmi Bálint, Szegeczki Nóra, Tálas József Soma.
4 points:	7 students.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	6 students.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018