Problem K. 582. (February 2018)

K. 582. How long may a word be if its letters can be ordered in exactly 180 ways? Give an example of a meaningful English word of this type.

(6 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy adott hosszúságú szónak az egyforma betűk számától függően lehet kiszámolni, hogy hányféle sorrendbe rendezhetők a betűi. Mindenképpen egy olyan hányadost kapunk, aminek számlálójában a szó hosszának faktoriálisa, nevezőjében pedig az egyforma betűknek megfelelő faktoriálisok szorzata áll. Például egy \(\displaystyle 5\) hosszúságú szónak, amiben csak \(\displaystyle 2\) egyforma betű szerepel \(\displaystyle \frac{5!}{2!}=60\)-féleképpen rendezhetők sorba a betűi. A \(\displaystyle 180\) prímtényezős felbontása: \(\displaystyle 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\). Ezt \(\displaystyle 2\) db \(\displaystyle 2\)-es szorzóval egészíthetjük ki \(\displaystyle 6!\)-ra: \(\displaystyle 6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot (2\cdot3)\), így a nevezőben \(\displaystyle 2! \cdot2!\)-nak kell állnia, azaz olyan \(\displaystyle 6\) betűs szót keresünk, amiben \(\displaystyle 2-2\) betű egyforma. Ilyen pl. a paplak.

Statistics:

84 students sent a solution.
6 points:	70 students.
5 points:	2 students.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018