Problem K. 584. (March 2018)

K. 584. Santa Claus is very strong, but he can only carry a maximum of 100 kg of presents in his sack. In a large apartment building, he was to deliver three different kinds of presents: A, B and C. The mass of each type of present is a whole number of kilograms. He can carry eight A and eight B at the same time, but in that case he cannot take any further piece (neither A, nor B or C) in that round. Similarly, he cannot take anything further if he carries ten A, four B and four C. How much may each of the presents A, B and C weigh in kilograms?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első megadott feltételből az alábbi egyenlőtlenségeket írhatjuk fel: \(\displaystyle 8A + 8B \leq 100\), \(\displaystyle 9A+8B > 100\), \(\displaystyle 8A + 9B > 100\), \(\displaystyle 8A +8B + C > 100\). Az első egyenlőtlenségből \(\displaystyle A + B \leq 12\). Ha \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) együtt kevesebb, mint \(\displaystyle 12\) kg lenne, akkor \(\displaystyle 9A + 9B < 100\) lenne, tehát csak \(\displaystyle A + B =12\) lehet. Ekkor a többi egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle A, B, C > 4\) is teljesül. Innen az \(\displaystyle A = 5\) és \(\displaystyle B = 7\), \(\displaystyle A = 6\) és \(\displaystyle B = 6\), illetve \(\displaystyle A = 7\) és \(\displaystyle B = 5\) lehetőségek adódnak. \(\displaystyle 10A+4B +4C < 100\), amiből \(\displaystyle A+B=12\)-t felhasználva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 6A + 4C < 52\). Mivel \(\displaystyle C\) legalább \(\displaystyle 5\) kg, ezért \(\displaystyle 4C\) legalább \(\displaystyle 20\) kg, így \(\displaystyle 6A\) kevesebb, mint \(\displaystyle 32\) kg. Ez a korábban kapott lehetőségek közül csak \(\displaystyle A=5\) esetén áll fenn. Tehát \(\displaystyle A=5\), \(\displaystyle B=7\). Ekkor \(\displaystyle 4C < 22\) adódik, ez csak \(\displaystyle C=5\) esetén teljesíthető. Tehát az \(\displaystyle A\) típusú csomag \(\displaystyle 5\) kg, a \(\displaystyle B\) típusú csomag \(\displaystyle 7\) kg és a \(\displaystyle C\) típusú csomag \(\displaystyle 5\) kg. Ekkor \(\displaystyle 10A+4B+3C=98\), amihez \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 7\) kg-ot adva már valóban túllépünk a \(\displaystyle 100\) kg-on.

Statistics:

70 students sent a solution.
6 points:	Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Borvák Annamária, Cserkuti Sándor, Fazakas Luca, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Gazda Fanni, Györgyfalvai Fanni, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Imreh Júlia, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kiss 728 Blanka, Kovács Gábor Benedek, Kulcsár Kevin, Lakatos Enikő, Lengyel Katalin, Mácsai Dániel, Nagy009Dávid, Rassai Erik, Ryan Voecks, Sápi Csaba, Sas 202 Mór, Schenk Anna, Sümegi Géza, Szabó 125 Áron, Tompos Anna, Zempléni Lilla.
5 points:	Andó Lujza, Balkányi Zsófia, Buzás Bence István, Farkas 202 Bálint, Kovács 987 Zsófia, Németh Kristóf, Róth Rebeka, Tálas József Soma.
4 points:	5 students.
3 points:	4 students.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018