Problem K. 585. (March 2018)

K. 585. Andrew wrote three (not necessarily different) positive integers on a blackboard, each of them smaller than \(\displaystyle 2018\). Then he erased these numbers (\(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\)), and replaced them with

\(\displaystyle \frac{A+B}2,\quad \frac{B+C}2, \quad \frac{A+C}2. \)

He repeated this procedure \(\displaystyle 11\) times altogether. As a result, one of the three numbers on the board is \(\displaystyle 100\). What are the other two numbers?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle A \leq B \leq C\), akkor a három új számra: \(\displaystyle \frac{A+B}{2}\leq\frac{A+C}{2}\leq\frac{B+C}{2}\). A legnagyobb és a legkisebb különbsége \(\displaystyle \frac{B+C}{2}-\frac{A+B}{2}=\frac{C-A}{2}\), tehát egy lépésben a legnagyobb és a legkisebb táblán lévő szám különbsége feleakkora lesz. Kezdetben ez legfeljebb \(\displaystyle 2016\) lehet, míg a \(\displaystyle 11\). lépés után legfeljebb \(\displaystyle \frac{2016}{2048}\), ami \(\displaystyle 1\)-nél kisebb. Így, ha három egész számot látunk, akkor a legnagyobb és legkisebb különbsége \(\displaystyle 1\)-nél kisebb, tehát csak három egyforma számot láthatunk. Tehát ez a három szám csak a \(\displaystyle 100\), a \(\displaystyle 100\) és a \(\displaystyle 100\) lehet. Ez meg is valósulhat, legegyszerűbben a \(\displaystyle 100\), \(\displaystyle 100\), \(\displaystyle 100\) kezdőszámokkal.

Statistics:

39 students sent a solution.
6 points:	Andó Lujza, Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Cserkuti Sándor, Fajka Lilla, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, H. Tóth Noel, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kiss 728 Blanka, Kovács 987 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Lakatos Enikő, Mácsai Dániel, Mályusz Etre, Sümegi Géza, Szabó Csege, Tompos Anna, Zempléni Lilla.
5 points:	Szecskás János.
4 points:	5 students.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018