Problem K. 586. (March 2018)

K. 586. The distances of an interior point of a regular hexagon from three consecutive vertices are 4, 4 and 8 units. How long are the sides of the hexagon?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A belső pont az ábrának megfelelően legyen \(\displaystyle P\). Ekkor \(\displaystyle RO\) az \(\displaystyle AOB\) szabályos háromszög magassága, így \(\displaystyle RO = \frac{\sqrt3}{2} r\). A \(\displaystyle CPO\) és az \(\displaystyle APR\) derékszögű háromszögek hasonlók, mivel átfogójuk és egy-egy befogójuk aránya megegyezik, így \(\displaystyle RP:PO = 1:2\). Tehát a \(\displaystyle CPO\) háromszögben az oldalak \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \frac23 \cdot \frac{\sqrt3}{2} r = \frac{\sqrt3}{3} r\). Felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle 8^2 = r^2 + \frac39 r^2\), ahonnan \(\displaystyle 64 = \frac43 r^2\), \(\displaystyle r = 4\sqrt3\).

Statistics:

50 students sent a solution.
6 points:	Biró 424 Ádám, Csatári Alina, Cserkuti Sándor, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Gárdi Bálint, H. Tóth Noel, Hajdú Bálint, Imreh Júlia, Izsa Regina Mária, Kéri Botond, Kovács 987 Zsófia, Lakatos Enikő, Lengyel Katalin, Orosz Bence, Sas 202 Mór, Sümegi Géza, Szeibert Barnabás, Tompos Anna, Zempléni Lilla.
5 points:	Ábri Attila Gergő, Balkányi Zsófia, Berényi Dorottya Elanor, Kadem Aziz.
4 points:	18 students.
3 points:	2 students.
2 points:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018