Problem K. 588. (March 2018)

K. 588. Let \(\displaystyle A > B\) be four-digit numbers such that \(\displaystyle B\) is obtained by writing the digits of \(\displaystyle A\) in reverse order. What are the smallest and largest possible values of \(\displaystyle A-B\)?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek \(\displaystyle A\) számjegyei \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Ekkor \(\displaystyle A = 1000a + 100b + 10c + d\), továbbá \(\displaystyle B = 1000d + 100c +10b + a\). Felírható \(\displaystyle A – B = 999a – 999d + 90b – 90c = 999(a–d) + 90(b–c)\). Mivel \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) négyjegyű számok, ezért \(\displaystyle a ≠ 0\) és \(\displaystyle d ≠ 0\), továbbá \(\displaystyle A > B\) miatt \(\displaystyle a = d\) és \(\displaystyle b = c\) nem teljesülhet egyszerre. A lehető legkisebb különbséget \(\displaystyle a = d\) és \(\displaystyle b – c = 1\) esetén kapjuk, ennek értéke \(\displaystyle 90\), pl.: \(\displaystyle A=1321\) és \(\displaystyle B = 1231\) esetén. A lehető legnagyobb különbség akkor adódik, ha a feltételeket figyelembe véve \(\displaystyle a – d\) és \(\displaystyle b – c\) értéke is a lehető legnagyobb. Ez \(\displaystyle a – d = 8\) és \(\displaystyle b – c = 9\) esetén áll fenn, a legnagyobb különbség tehát \(\displaystyle 999 \cdot 8 + 90 \cdot 9 = 8802\), \(\displaystyle A = 9901\) és \(\displaystyle B = 1099\) esetén.

Statistics:

84 students sent a solution.
6 points:	Andó Lujza, Bagyinszki Ádám, Balkányi Zsófia, Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Csatári Alina, Éliás Orsolya, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Gárdi Bálint, Györgyfalvai Fanni, H. Tóth Noel, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Izsa Regina Mária, Kiss 728 Blanka, Kovács 787 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Lengyel Katalin, Mácsai Dániel, Mályusz Etre, Oláh Benedek, Róth Rebeka, Ryan Voecks, Schenk Anna, Sümegi Géza, Tompos Anna, Tóth 612 Miklós Dániel, Varga 225 Balázs, Zempléni Lilla.
5 points:	Gubik Boglárka, Kadem Aziz, Lakatos Enikő, Nánási-Kocsis Gergely, Rassai Erik, Szabó Csege, Szalontai Dorina Enikő, Szappanos Miklós, Vavra Otília.
4 points:	7 students.
3 points:	9 students.
2 points:	9 students.
1 point:	7 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018