Problem K. 595. (October 2018)

K. 595. QUARTO is a strategy board game (1991) for two players, invented by the Swiss mathematician Blaiseb Müller. The game includes a set of 16 pieces, each different from all others in some way. The pieces can be divided into two sets of eight by each of four different attributes:

– tall or short;

– black or white;

– round or square;

– hollow or solid at the top.

In how many different ways is it possible to select two pieces that agree in exactly two or three attributes?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Első megoldás. Mivel egy figurának négy tulajdonága van, így ezek közül kettő közös tulajdonságot \(\displaystyle \binom42=6\)-féleképpen tudunk kiválasztani, hármat pedig \(\displaystyle \binom43=4\)-féleképpen. Ekkor a nem választott tulajdonságok éppen „ellentétesek” kell, legyenek, így kapunk egy-egy megfelelő párt. Tehát egy figurához tíz olyan figurát találhatunk, amely vele pontosan kettő vagy három tulajdonságban egyezik meg. Ez minden figurára igaz. Figyelembe véve, hogy így egy megfelelő figura-párt kétszer is számolunk, így a megfelelő figurapárok száma \(\displaystyle 16 \cdot 10 : 2 = 80\).

Második megoldás. Összesen \(\displaystyle 16 \cdot 15 : 2 = 120\)-féleképpen választhatunk ki két figurát, melyeknek lehet \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), vagy \(\displaystyle 3\) közös tulajdonsága (\(\displaystyle 4\) közös tulajdonság nem lehet).

Mivel egy figurának négy tulajdonsága van, így ezek közül egy közös tulajdonságot négyféleképpen tudunk kiválasztani. Ekkor a nem választott tulajdonság éppen „ellentétes” kell, legyen, így kapunk egy-egy megfelelő párt. Tehát egy figurához négy olyan figurát találhatunk, amely vele pontosan egy tulajdonságban egyezik meg. Ez minden figurára igaz. Figyelembe véve, hogy minden figurapárt kétszer választottunk ki, a megfelelő figurapárok száma \(\displaystyle 16 \cdot 4 : 2 = 32\).

Olyan figurapár, melyekben nincs közös tulajdonsága a figuráknak, \(\displaystyle 8\) van.

Tehát \(\displaystyle 120 \cdot (32 + 8) = 80\) olyan figurapár van, amelyben a figuráknak két vagy három közös tulajdonságuk van.

Statistics:

190 students sent a solution.
6 points:	99 students.
4 points:	23 students.
3 points:	5 students.
2 points:	22 students.
0 point:	19 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	22 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018