Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 596. (October 2018)

K. 596. Let \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) and \(\displaystyle R\) denote points on sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\) of a triangle \(\displaystyle ABC\), respectively, such that \(\displaystyle AP = AR\), \(\displaystyle BP = BQ\) and \(\displaystyle CQ = CR\) should hold. How many different sets of such points \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) may exist for a given triangle \(\displaystyle ABC\)?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Bármilyen háromszög esetén egyetlen ilyen \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) ponthármas létezik. Vegyük fel a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontokat az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) oldalakon az \(\displaystyle A\) ponthoz nagyon közel úgy, hogy teljesüljön az \(\displaystyle AP = AR\) feltétel. Ha elegendően közel vesszük fel az \(\displaystyle A\) csúcshoz a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontokat, akkor a (háromszög egyenlőtlenség miatt) a \(\displaystyle PB\) és \(\displaystyle RC\) szakaszok hosszának összege nagyobb lesz a \(\displaystyle BC\) oldal hosszánál. Ha a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontokat egyenletesen egyre távolabb visszük az \(\displaystyle A\) csúcstól a megfelelő oldalon, akkor a távolságok folyamatos változása miatt lesz egyetlen olyan helyzet, amikor a \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CR\) szakaszok összesen olyan hosszúak lesznek, mint a \(\displaystyle BC\) oldal. Ekkor megtaláltuk az egyetlen megfelelő \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontot, illetve \(\displaystyle Q\)-t úgy, ha pl. \(\displaystyle BP\) szakaszt felmásoljuk a \(\displaystyle BC\) oldalra \(\displaystyle B\)-ből.

2. megoldás. Bármilyen háromszög esetén egyetlen ilyen \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) ponthármas létezik.

Jelölje a háromszög oldalainak hosszát \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), valamint legyen \(\displaystyle x = AP = AR\), \(\displaystyle y = BP = BQ\) és \(\displaystyle z = CQ = CR\). Megoldandó az

\(\displaystyle x+y=c,\)

\(\displaystyle y+z=a,\)

\(\displaystyle z+x=b\)

egyenletrendszer. A három egyenletet összeadva és \(\displaystyle 2\)-vel elosztva kapjuk, hogy \(\displaystyle x+y+z=\frac{a+b+c}{2}\), ahonnan \(\displaystyle x=\frac{a+b+c}{2}-(y+z)=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\), és hasonlóan \(\displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\) és \(\displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\). A háromszög egyenlőtlenség miatt mindhárom kifejezés pozitív értékű, így az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van.

3. megoldás. Bármilyen háromszög esetén egyetlen ilyen \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) ponthármas létezik.

A háromszög beírható körének érintési pontjai megfelelő ponthármast adnak, mert a körhöz külső pontból húzható érintőszakaszok hossza egyenlő. Könnyen látható, hogy ha bármelyik két pontot elmozdítjuk egyenletesen az oldalakon valamelyik irányban, a további egyenlőségek nem teljesülnek.


Statistics:

155 students sent a solution.
6 points:54 students.
5 points:17 students.
4 points:14 students.
3 points:9 students.
2 points:5 students.
1 point:32 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:19 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018