Problem K. 607. (December 2018)

K. 607. Regular hexagons are constructed out of congruent regular triangles as shown in the figure. The first one consists of six triangles, the second one consists of twenty-four.

\(\displaystyle a)\) How many triangles does the sixth such hexagon consist of?

\(\displaystyle b)\) We have 2017 such regular triangles. If we use them to construct the largest possible hexagon of this kind, how many triangles are left over?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Első megoldás. Kifelé építjük a hatszöget. Először az oldalakra teszünk még egy sornyi háromszöget („belülről kihajtjuk”, majd minden csúcsnál még kettőt beillesztünk.

Az első hatszögben 6 háromszög van.

A másodikban: \(\displaystyle 6 + 6 + 6 \cdot 2 = 24\).

A harmadikban: \(\displaystyle 24 + 6 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 54\).

A negyedikben: \(\displaystyle 54 + 6 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 96\).

Az ötödikben: \(\displaystyle 96 + 6 \cdot 7 + 6 \cdot 2 = 150\).

A hatodikban: \(\displaystyle 150 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 2 = 216\).

A hatodik hatszög \(\displaystyle 216\) kis háromszögből áll.

Második megoldás. A hatszög csúcsai és középpontja hat (nagyobb) szabályos háromszög csúcsai. A hatodik hatszög oldala hat egység hosszú és egy ilyen szabályos háromszögben ott \(\displaystyle 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 36\) háromszög van. (Másképp: \(\displaystyle 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36\).)

A hatodik hatszög \(\displaystyle 216\) kis háromszögből áll.

Harmadik megoldás. Az \(\displaystyle n\). hatszög \(\displaystyle 6n^2\) kis háromszögből áll.

1. indoklás: Egy hatod hatszögben

\(\displaystyle 1+1+2+2+3+3+...+(n-1)+(n-1)+n=2\cdot\frac{((1+(n-1))\cdot(n-1)}{2}+n=n\cdot n=n^2\)

kis háromszög van.

2. indoklás: Egy hatod hatszögben

\(\displaystyle 1+3+5+...+(2n-1)=2\cdot\frac{n\cdot(1+2n-1)}{2}=n^2\)

kis háromszög van.

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2017 : 6 \approx 336\). A \(\displaystyle 366\)-nál kisebb legnagyobb négyzetszám a \(\displaystyle 18^2=324\), így \(\displaystyle 324 \cdot 6 = 1944\) kis háromszögből áll a \(\displaystyle 18\). hatszög és így \(\displaystyle 2017-1944=73\) kis háromszög marad ki.

Statistics:

180 students sent a solution.
6 points:	57 students.
5 points:	43 students.
4 points:	14 students.
3 points:	12 students.
2 points:	5 students.
1 point:	6 students.
0 point:	23 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	20 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018