Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 608. feladat (2018. december)

K. 608. \(\displaystyle a)\) Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan egész szám van, melynek a négyzete három 4-esre végződik.

\(\displaystyle b)\) Van-e olyan egész szám, melynek a négyzete négy 4-esre végződik?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. a) Pl. \(\displaystyle 38^2 = 1444\), \(\displaystyle 1038^2 = 1\,077\,444\), \(\displaystyle 10\,038^2 = 100\,761\,444\), \(\displaystyle 1\,000\,383^2 = 10\,007\,601\,444\), stb... A \(\displaystyle (10^k+38)^2 = 10^{2k}+10^k\cdot38+1444\) azonosság miatt \(\displaystyle k\geq 3\) esetén az összeg első két tagjának utolsó három számjegye \(\displaystyle 0\), tehát a szám három \(\displaystyle 4\)-esre végződik, így valóban végtelen sok ilyen szám van.

b) Egy szám pontosan akkor osztható \(\displaystyle 16\)-tal, ha az utolsó négy számjegyéből álló szám osztható \(\displaystyle 16\)-tal. Egy szám \(\displaystyle 16\)-os maradéka egyenlő az utolsó négy számjegyéből álló szám \(\displaystyle 16\)-os maradékával.

Egy szám négyzete \(\displaystyle 16\)-tal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 9\) maradékot adhat csak. Ha egy szám \(\displaystyle 4444\)-re végződik, akkor a \(\displaystyle 16\)-os maradéka \(\displaystyle 12\), így nem lehet négyzetszám.


Statisztika:

A K. 608. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai