Problem K. 608. (December 2018)

K. 608. \(\displaystyle a)\) Show that there are infinitely many integers whose squares end in three digits of 4.

\(\displaystyle b)\) Is there a positive integer whose square ends in four digits of 4?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Pl. \(\displaystyle 38^2 = 1444\), \(\displaystyle 1038^2 = 1\,077\,444\), \(\displaystyle 10\,038^2 = 100\,761\,444\), \(\displaystyle 1\,000\,38^2 = 10\,007\,601\,444\), stb... A \(\displaystyle (10^k+38)^2 = 10^{2k}+10^k\cdot38+1444\) azonosság miatt \(\displaystyle k\geq 3\) esetén az összeg első két tagjának utolsó három számjegye \(\displaystyle 0\), tehát a szám három \(\displaystyle 4\)-esre végződik, így valóban végtelen sok ilyen szám van.

b) Egy szám pontosan akkor osztható \(\displaystyle 16\)-tal, ha az utolsó négy számjegyéből álló szám osztható \(\displaystyle 16\)-tal. Egy szám \(\displaystyle 16\)-os maradéka egyenlő az utolsó négy számjegyéből álló szám \(\displaystyle 16\)-os maradékával.

Egy szám négyzete \(\displaystyle 16\)-tal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 9\) maradékot adhat csak. Ha egy szám \(\displaystyle 4444\)-re végződik, akkor a \(\displaystyle 16\)-os maradéka \(\displaystyle 12\), így nem lehet négyzetszám.

Statistics:

102 students sent a solution.
6 points:	Cserkuti Sándor, Dózsa Levente, Egyházi Hanna, Fórizs Botond, Gémes 228 Bence, Hamar János, Hegedűs András , Héjja Márton, Hoffmann Szabolcs, Imreh Lili, Iván Zsombor, Kalocsai Zoltán, Keresztes Balázs, Kovács Brúnó Aurél, Lajtos Enikő, Leopold Rozvita, Ludvig Emese Ágota, Márky Anna, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Miklóssy Katinka, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Osváth Klára, Propp Kristóf, Rács Zsóka, Riba Dániel, Salamon Tamás Koppány, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szabó 003 Szabina, Szabó 375 Gergő István, Szepesi Dorina, Szirmai Dénes, Tarján Teréz, Tárkányi Ákos, Vad Réka, Valkai Máté, Varga 928 Péter, Xu Yiling.
5 points:	Duska Máté, Hamvas Johanna Kata, Horváth József, Jósvai Dominik, Lévay Anna, Sámuel Laura , Sándor Balázs, Sipos Teodor, Szilágyi Virág Anna.
4 points:	22 students.
3 points:	14 students.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018