Problem K. 610. (January 2019)

K. 610. We are building a flight of stairs from solid concrete. It leads to a height of 3 metres, and its width is 1 metre. Each step has a height (\(\displaystyle m\)) and a so-called depth (\(\displaystyle l\)), as shown in the figure. It is required that \(\displaystyle 2m+l=64\) cm, and a stair is not allowed to have a height greater than its depth. What is the minimum possible number of steps? How much concrete is needed for the flight of stairs that has the minimum number of steps?

(6 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a lehető legmagasabb egy lépcsőfok, ami az előírásnak megfelel (ebből kell nyilván a legkevesebb), akkor \(\displaystyle 21\frac13\) cm magas, ezek lépésmélysége szintén \(\displaystyle 21\frac13\) cm. Viszont mivel csak egész számú lépcsőfok képzelhető el, csak a \(\displaystyle 300\) osztói adhatják a lépcsőfok magasságát, így az első szóba jövő magasság a \(\displaystyle 20\) cm, ahol a lépésmélység \(\displaystyle 24\) cm. Ebből \(\displaystyle 15\) darabra van szükség, ami a lehető legkevesebb.

A megfelelő betonmennyiséget kiszámíthatjuk, ha képzeletben a nyolcadik lépcsőfok felénél a talajjal párhuzamos síkkal kettévágjuk a lépcsőt, és a felső felét az alsóval összeillesztjük. Így egy téglatesthez jutunk, aminek magassága \(\displaystyle 1,5\) m, szélessége \(\displaystyle 1\) m, hossza \(\displaystyle 16\cdot0,24=3,84\) m, így térfogata \(\displaystyle 5,76~\textrm{m}^3\).

Statistics:

147 students sent a solution.
6 points:	62 students.
5 points:	21 students.
4 points:	25 students.
3 points:	14 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019