Problem K. 612. (January 2019)

K. 612. Find all positive integers \(\displaystyle n\) for which \(\displaystyle n + 125\) and \(\displaystyle n + 201\) are perfect squares.

(6 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A két négyzetszám különbsége \(\displaystyle n+201-(n+125) = 76\). Két négyzetszám különbsége pedig szorzattá bontható \(\displaystyle a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\) alakban. A \(\displaystyle 76\) prímtényezős felbontása: \(\displaystyle 76=2^2\cdot19\). Így a lehetséges szorzattá bontásai: \(\displaystyle 76 = 1\cdot76 = 2\cdot38 = 4\cdot19\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a+b>a-b\), így a felbontások egyértelműen meghatározzák \(\displaystyle a-b\) és \(\displaystyle a+b\) értékét. Ha \(\displaystyle a-b = 1\), akkor \(\displaystyle 2b + 1 = 76\), de ekkor \(\displaystyle b\) nem egész. Ha \(\displaystyle a-b = 2\), akkor \(\displaystyle 2b + 2 = 38\), ahonnan \(\displaystyle b = 18\), \(\displaystyle a = 20\), a két négyzetszám \(\displaystyle 324\) és \(\displaystyle 400\), \(\displaystyle n = 199\). Ha \(\displaystyle a-b = 4\), akkor \(\displaystyle 2b + 4 = 19\), ahonnan \(\displaystyle b\) megint nem egész. Így egyetlen megoldást találtunk.

Statistics:

130 students sent a solution.
6 points:	60 students.
5 points:	15 students.
4 points:	15 students.
3 points:	10 students.
2 points:	9 students.
1 point:	7 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	13 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2019