A K. 615. feladat (2019. február)

K. 615. Egy négyzet belsejében helyezzünk el hat pontot úgy, hogy a négyzet csúcsai és a hat pont közül semelyik három ne essen egy egyenesre. Kössük össze ezt a tíz pontot (a négyzet csúcsait és a belső hat pontot) egymást nem metsző szakaszokkal. Ezt az összekötést addig folytassuk, amíg van két olyan pont a tíz közül, amit a fenti módon össze lehet kötni. Legfeljebb hány szakaszt lehet berajzolni így?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha nem tudunk már újabb szakaszt behúzni, az azt jelenti, hogy kis háromszögekre osztottuk fel a négyzetet. A háromszögek belső szögeit figyeljük és számoljuk ki az összegüket. A hat pont körül rendre \(\displaystyle 360^{\circ}\) nagyságú szög van. A négyzet négy csúcsánál együtt \(\displaystyle 4\cdot90^{\circ}=360^{\circ}\), így összesen \(\displaystyle 7\cdot360^{\circ}=14\cdot180^{\circ}(=2520^{\circ})\) a belső szögek összege, ami azt jelenti, hogy mindenképpen tizennégy háromszöget kapunk. A tizennégy háromszögnek a négy négyzetoldal egy-egy oldala, a behúzott szakaszok mindegyike pedig valamelyik két háromszög közös oldala, így a négyzeten belüli oldalak (a berajzolt szakaszok) száma (\(\displaystyle 14\cdot3-4):2=19\).

Tehát minden esetben \(\displaystyle 19\) szakaszt rajzolunk be, akárhogyan helyezkednek el a pontok és akármilyen módon kötjük őket össze.

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Cserkuti Sándor, Márky Anna, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika.
5 pontot kapott:	Kalocsai Zoltán, Németh László Csaba, Sebestyén Pál Botond, Szabó 003 Szabina.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai