Problem K. 615. (February 2019)

K. 615. Six points are selected in the interior of a square such that no three points among the 10 points (the vertices of the square and the six points) are collinear. From these 10 points, pairs of points are connected with line segments that do not intersect each other, and the process is continued until it is not possible to add a further line segment. What is the largest possible number of line segments that may be drawn in this way?

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha nem tudunk már újabb szakaszt behúzni, az azt jelenti, hogy kis háromszögekre osztottuk fel a négyzetet. A háromszögek belső szögeit figyeljük és számoljuk ki az összegüket. A hat pont körül rendre \(\displaystyle 360^{\circ}\) nagyságú szög van. A négyzet négy csúcsánál együtt \(\displaystyle 4\cdot90^{\circ}=360^{\circ}\), így összesen \(\displaystyle 7\cdot360^{\circ}=14\cdot180^{\circ}(=2520^{\circ})\) a belső szögek összege, ami azt jelenti, hogy mindenképpen tizennégy háromszöget kapunk. A tizennégy háromszögnek a négy négyzetoldal egy-egy oldala, a behúzott szakaszok mindegyike pedig valamelyik két háromszög közös oldala, így a négyzeten belüli oldalak (a berajzolt szakaszok) száma (\(\displaystyle 14\cdot3-4):2=19\).

Tehát minden esetben \(\displaystyle 19\) szakaszt rajzolunk be, akárhogyan helyezkednek el a pontok és akármilyen módon kötjük őket össze.

Statistics:

69 students sent a solution.
6 points:	Cserkuti Sándor, Márky Anna, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika.
5 points:	Kalocsai Zoltán, Németh László Csaba, Sebestyén Pál Botond, Szabó 003 Szabina.
4 points:	24 students.
3 points:	4 students.
2 points:	14 students.
1 point:	4 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019