Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 616. feladat (2019. február)

K. 616. Sok egész számot fel lehet írni három egész szám négyzetének összegeként. Például: \(\displaystyle 1=1^2+0^2+0^2\), \(\displaystyle 14=3^2+2^2+1^2\), \(\displaystyle 20=4^2+2^2+0^2\). Mutassuk meg, hogy az 1991 nem írható fel három egész szám négyzetének összegeként.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás.

\(\displaystyle n\) \(\displaystyle 8\)-as maradéka 0 1 2 3 4 5 6 7
\(\displaystyle n^2\) \(\displaystyle 8\)-as maradéka 0 1 4 1 0 1 4 1

Tehát egy szám négyzete \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 4\) maradékot adhat. Ebből következik, hogy három négyzetszám összege \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 6\) maradékot adhat. Mivel \(\displaystyle 1991\) maradéka \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 7\), így nem írható fel három négyzetszám összegeként.


Statisztika:

A K. 616. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai