Problem K. 616. (February 2019)

K. 616. There are a lot of integers that can be represented as a sum of three perfect squares. For example, \(\displaystyle 1=1^2+0^2+0^2\), \(\displaystyle 14=3^2+2^2+1^2\), \(\displaystyle 20=4^2+2^2+0^2\). Show that 1991 cannot be represented as a sum of three perfect squares.

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Tehát egy szám négyzete \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 4\) maradékot adhat. Ebből következik, hogy három négyzetszám összege \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 6\) maradékot adhat. Mivel \(\displaystyle 1991\) maradéka \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 7\), így nem írható fel három négyzetszám összegeként.

Statistics:

80 students sent a solution.
6 points:	Barát Benedek, Biszak Bence, Cserkuti Sándor, Diczházi Noémi, Dózsa Levente, Egyházi Hanna, Erős 135 Milán, Ferencz Lilla, Flódung Áron , Hamar János, Hamvas Johanna Kata, Héjja Márton, Hoffmann Szabolcs, Imreh Lili, János Szabolcs, Kalocsai Zoltán, Keresztes Balázs, Kun Timon, Leopold Rozvita, Márky Anna, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Miklóssy Katinka, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Rács Zsóka, Reviczki Roland, Riba Dániel, Richlik Bence, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szabó 003 Szabina, Szirmai Dénes, Szlobodics Soma, Valkai Máté, Varga 601 Zalán, Varga 928 Péter.
5 points:	Domokos Lóránt, Sipos Teodor.
4 points:	6 students.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.
1 point:	10 students.
0 point:	12 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019