A K. 618. feladat (2019. február)

K. 618. Egy pozitív egész számot nevezzünk ,,erős'' számnak, ha több osztója van, mint minden nála kisebb pozitív egész számnak. (Például a 2 erős szám, mert 2 osztója van, míg az 1-nek csak 1, de a 3 nem erős szám, mert 2 osztója van, ugyanúgy, mint a nála kisebb 2-nek.)

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a 2-nél nagyobb, de 30-nál kisebb erős számokat.

\(\displaystyle b)\) Erős szám-e a \(\displaystyle 2^3\cdot3^4\cdot5\)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Az osztók számát meghatározhatjuk a szám prímtényezős felbontásából. A prímtényezők kitevőinek 1-gyel megnövelt értékét összeszorozva kapjuk meg az osztók számát. Az 1 osztóinak száma 1; a prímszámok (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) osztóinak száma 2; \(\displaystyle 2^2=4\), \(\displaystyle 3^2=9\) és \(\displaystyle 5^2=25\) osztóinak száma 3; \(\displaystyle 2^3=8\), \(\displaystyle 3^3=27\), \(\displaystyle 2\cdot3=6\), \(\displaystyle 2\cdot5=10\), \(\displaystyle 2\cdot7=14\), \(\displaystyle 2\cdot11=22\), \(\displaystyle 2\cdot13=26\), \(\displaystyle 3\cdot5=15\), \(\displaystyle 3\cdot7=21\) osztóinak száma 4; végül a többi számra \(\displaystyle d(12)=d(2^2\cdot2)=6\), \(\displaystyle d(16)=d(2^4)=5\), \(\displaystyle d(18)=d(2\cdot3^2)=6\), \(\displaystyle d(20)=d(2^2\cdot5)=6\), \(\displaystyle d(24)=d(3\cdot2^3)=8\), míg \(\displaystyle d(28)=d(2^2\cdot7)=6\). Ez alapján a 2-nél nagyobb, de 30-nál kisebb erős számok: \(\displaystyle 4, 6, 12, 24\).

b) Nem erős szám, mert a nála kisebb \(\displaystyle 2^4\cdot3^3\cdot5\)-nek szintén 40 osztója van.

Statisztika:

140 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	58 versenyző.
5 pontot kapott:	26 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	15 dolgozat.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai