Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem K. 618. (February 2019)

K. 618. A positive integer $\displaystyle n$ is said to be a strong'' number if its number of divisors is greater than the number of divisors of each positive integer less than $\displaystyle n$. (For example, $\displaystyle n=2$ is a strong number, because it has two divisors, while $\displaystyle n=1$ has only one. But $\displaystyle n=3$ is not a strong number, because it has two divisors similarly to a smaller integer $\displaystyle n=2$.)

$\displaystyle a)$ Find all strong numbers greater than 2 but less than 30.

$\displaystyle b)$ Is $\displaystyle 2^3\cdot3^4\cdot5$ a strong number?

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Az osztók számát meghatározhatjuk a szám prímtényezős felbontásából. A prímtényezők kitevőinek 1-gyel megnövelt értékét összeszorozva kapjuk meg az osztók számát. Az 1 osztóinak száma 1; a prímszámok (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) osztóinak száma 2; $\displaystyle 2^2=4$, $\displaystyle 3^2=9$ és $\displaystyle 5^2=25$ osztóinak száma 3; $\displaystyle 2^3=8$, $\displaystyle 3^3=27$, $\displaystyle 2\cdot3=6$, $\displaystyle 2\cdot5=10$, $\displaystyle 2\cdot7=14$, $\displaystyle 2\cdot11=22$, $\displaystyle 2\cdot13=26$, $\displaystyle 3\cdot5=15$, $\displaystyle 3\cdot7=21$ osztóinak száma 4; végül a többi számra $\displaystyle d(12)=d(2^2\cdot2)=6$, $\displaystyle d(16)=d(2^4)=5$, $\displaystyle d(18)=d(2\cdot3^2)=6$, $\displaystyle d(20)=d(2^2\cdot5)=6$, $\displaystyle d(24)=d(3\cdot2^3)=8$, míg $\displaystyle d(28)=d(2^2\cdot7)=6$. Ez alapján a 2-nél nagyobb, de 30-nál kisebb erős számok: $\displaystyle 4, 6, 12, 24$.

b) Nem erős szám, mert a nála kisebb $\displaystyle 2^4\cdot3^3\cdot5$-nek szintén 40 osztója van.

### Statistics:

 140 students sent a solution. 6 points: 58 students. 5 points: 26 students. 4 points: 11 students. 3 points: 12 students. 2 points: 12 students. 1 point: 6 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 15 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019