Problem K. 618. (February 2019)
K. 618. A positive integer \(\displaystyle n\) is said to be a ``strong'' number if its number of divisors is greater than the number of divisors of each positive integer less than \(\displaystyle n\). (For example, \(\displaystyle n=2\) is a strong number, because it has two divisors, while \(\displaystyle n=1\) has only one. But \(\displaystyle n=3\) is not a strong number, because it has two divisors similarly to a smaller integer \(\displaystyle n=2\).)
\(\displaystyle a)\) Find all strong numbers greater than 2 but less than 30.
\(\displaystyle b)\) Is \(\displaystyle 2^3\cdot3^4\cdot5\) a strong number?
(6 pont)
Deadline expired on March 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) Az osztók számát meghatározhatjuk a szám prímtényezős felbontásából. A prímtényezők kitevőinek 1-gyel megnövelt értékét összeszorozva kapjuk meg az osztók számát. Az 1 osztóinak száma 1; a prímszámok (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) osztóinak száma 2; \(\displaystyle 2^2=4\), \(\displaystyle 3^2=9\) és \(\displaystyle 5^2=25\) osztóinak száma 3; \(\displaystyle 2^3=8\), \(\displaystyle 3^3=27\), \(\displaystyle 2\cdot3=6\), \(\displaystyle 2\cdot5=10\), \(\displaystyle 2\cdot7=14\), \(\displaystyle 2\cdot11=22\), \(\displaystyle 2\cdot13=26\), \(\displaystyle 3\cdot5=15\), \(\displaystyle 3\cdot7=21\) osztóinak száma 4; végül a többi számra \(\displaystyle d(12)=d(2^2\cdot2)=6\), \(\displaystyle d(16)=d(2^4)=5\), \(\displaystyle d(18)=d(2\cdot3^2)=6\), \(\displaystyle d(20)=d(2^2\cdot5)=6\), \(\displaystyle d(24)=d(3\cdot2^3)=8\), míg \(\displaystyle d(28)=d(2^2\cdot7)=6\). Ez alapján a 2-nél nagyobb, de 30-nál kisebb erős számok: \(\displaystyle 4, 6, 12, 24\).
b) Nem erős szám, mert a nála kisebb \(\displaystyle 2^4\cdot3^3\cdot5\)-nek szintén 40 osztója van.
Statistics:
140 students sent a solution. 6 points: 58 students. 5 points: 26 students. 4 points: 11 students. 3 points: 12 students. 2 points: 12 students. 1 point: 6 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 15 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019