Problem K. 620. (March 2019)

K. 620. The sum of five positive integers is 20. The absolute values of their pairwise differences are 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10. Find all such sets of five numbers.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a különbségek között a \(\displaystyle 0\) nem szerepel, így öt különböző számot keresünk. A legnagyobb és a legkisebb szám különbsége \(\displaystyle 10\). A másik három közöttük lévő szám olyan, hogy a legkisebb és a legnagyobb számtól vett különbségeik összege \(\displaystyle 10\). Ezek a különbségpárok csak az \(\displaystyle 1-9\), \(\displaystyle 3-7\), és \(\displaystyle 4-6\) lehetnek (valamilyen sorrendben). Mivel a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\) különbségek maradtak ki, így a három középső szám párosával vett különbsége \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\). Közülük a két szélső különbsége csak az \(\displaystyle 5\) lehet, és a harmadik szám vagy \(\displaystyle 2\)-vel, vagy \(\displaystyle 3\)-mal nagyobb a másodiknál.

Legyen \(\displaystyle x\) a második legkisebb szám. Ekkor a rákövetkezők \(\displaystyle x+2\) és \(\displaystyle x+5\), vagy \(\displaystyle x+3\) és \(\displaystyle x+5\) lehetnek.

Mivel a különbségek között szerepel az \(\displaystyle 1\), így az már csak vagy a két legkisebb, vagy a két legnagyobb szám különbsége lehet.

Négy eset van:

(1) \(\displaystyle x-1\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+9\), ahonnan \(\displaystyle (x-1)+x+(x+2)+(x+5)+(x+9)=20\), az egyenletet megoldva \(\displaystyle x=1\), az öt szám pedig \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 10\). Azonban nem mind az öt pozitív.

(2) \(\displaystyle x-4\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+6\), de ez nem felel meg, mert a \(\displaystyle 4\)-es különbség kétszer is előfordul (\(\displaystyle x-(x-4) = (x+6)-(x+2)=4\)).

(3) \(\displaystyle x-1\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+3\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+9\), de ez sem felel meg, mert a \(\displaystyle 4\)-es különbség kétszer is előfordul (\(\displaystyle (x+3)-(x-1) = (x+6)-(x+2)=4\)).

(4) \(\displaystyle x-4\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+3\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+6\), ahonnan \(\displaystyle (x-4)+x+(x+3)+(x+5)+(x+6)=20\), az egyenletet megoldva \(\displaystyle x=2\), az öt szám pedig \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\). Azonban nem mind az öt pozitív.

Tehát nincs megfelelő számötös.

Statistics:

81 students sent a solution.
6 points:	Császár Boglárka, Cserkuti Sándor, Egyházi Hanna, Fonyódi Sára, Hamvas Johanna Kata, Hoffmann Szabolcs, Malatinszki Hanna, Márky Anna, Németh László Csaba, Osváth Klára, Reviczki Roland, Riba Dániel, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szepesi Dorina, Szlobodics Soma, Tóth Vivien, Váczy Dorottya.
5 points:	Bana Marcell, Csuvár Ákos, Flódung Áron , Kalocsai Zoltán, Ludvig Emese Ágota, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Sámuel Laura , Szabó 003 Szabina, Szépvölgyi Gergely, Szin Imola, Tarján Teréz, Tóth Merse Ferenc, Varga 601 Zalán, Varga 928 Péter.
4 points:	5 students.
3 points:	10 students.
2 points:	8 students.
1 point:	8 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019