Problem K. 621. (March 2019)

K. 621. Nine members of a math club are designing a \(\displaystyle 3\times3\) square flag as shown in the figure. In the nine fields, they arrange the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so that the sum of the numbers in each row, each column, and each diagonal is divisible by 3. How many different flags may they make?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha három szám összege osztható hárommal, akkor vagy ugyanolyan maradékot adnak 3-mal osztva, vagy különböző maradékot. A számokat hármas maradékuk szerint háromféle csoportba oszthatjuk, mindhárom csoportba három szám kerül. Az alábbi kitöltésben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) a hármas maradékok egy kiosztása és a kitöltést is csak a maradékok szerint vizsgáljuk egyelőre. Ha három különböző maradék kerül minden sorba és oszlopba is: legyen az első sor kitöltése \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). A második sorban \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle b\) alatt vagy \(\displaystyle c\) alatt lehet, ekkor a táblázatok kitöltése már adódik a fentiek szerint. Ha három egyforma maradék kerül a sorokba vagy az oszlopokba, akkor pedig további kétféle kitöltést kaphatunk az ábra szerint.

\(\displaystyle a\) értéke lehet \(\displaystyle 3\)-féle, \(\displaystyle b\) értéke 2-féle lehet, ekkor \(\displaystyle c\) értéke már adódik. Ez \(\displaystyle 6\)-féle maradékkiosztást jelent mind a négy esetben. Minden maradéktípusnál \(\displaystyle 3\cdot2\cdot1=6\)-féle belső kitöltés lehet. Így összesen \(\displaystyle 4\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6 = 5184\)-féle különböző zászlót készíthetnek.

Statistics:

88 students sent a solution.
6 points:	Bana Marcell, Cserkuti Sándor, Egyházi Hanna, Ferencz Lilla, Hamar János, Hegedűs András , Kalocsai Zoltán, Károly Kinga, Király Előd István, Márky Anna, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Osváth Klára, Propp Kristóf, Rács Zsóka, Riba Dániel, Richlik Bence, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szabó 696 Ádám, Szabó09 Zsuzsanna, Varga 928 Péter.
5 points:	Imreh Lili, Keresztes Balázs, Malatinszki Hanna, Nagy Bianka , Szirmai Dénes, Tóth Vivien, Udvardy Kata.
4 points:	9 students.
3 points:	9 students.
2 points:	11 students.
1 point:	11 students.
0 point:	10 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019