Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 625. (September 2019)

K. 625. How many six-digit numbers are there in which each digit occurs exactly as many times as its value?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A lehetséges hatjegyű számok: 6 db 6-osból áll – 1 db van; 5 db 5-ösből és 1 db 1-esből áll – 6 db van (az 1-es hatféle helyen lehet); 4 db 4-esből és 2 db 2-esből áll – a 2 db 2-est \(\displaystyle \binom62=\frac{6\cdot 5}{2}=15\)-féleképpen helyezhetjük el, így 15 ilyen szám van. Az utolsó típus 3 db 3-asból, 2 db 2-esből és 1 db 1-esből áll. Az 1-est hatféle helyre tehetjük le, a maradék öt helyre pedig \(\displaystyle \binom52=\frac{5\cdot4}{2}=10\)-féleképpen helyezhetjük el a 2 db 2-est, a hármasok a megmaradt üres helyeket töltik ki. Így összesen \(\displaystyle 6\cdot 10 = 60\) ilyen szám van. Összesen tehát \(\displaystyle 1+6+15+60=82\) megfelelő számot találunk.


Statistics:

239 students sent a solution.
6 points:134 students.
5 points:25 students.
4 points:20 students.
3 points:17 students.
2 points:6 students.
1 point:7 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:23 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019