Problem K. 626. (September 2019)
K. 626. The table below shows the statistics of a round-robin football championship of four participating teams. Teams are listed in alphabetical order of their names. Every team played every other team exactly once. The winner of each game scored 3 points, the losing team scored 0, and in a draw each team scored 1 point.
| Team | Points | Goals For | Goals Against |
| Headers | 1 | 4 | 6 |
| Left Foot FC | 8 | 4 | |
| Right Foot FC | 4 | 4 | |
| Sprinters | 1 | 4 | 6 |
Given that the result of the Left Foot–Right Foot game was 3-1, and that the Headers scored a goal in every game they played, determine the result of each individual game.
(6 pont)
Deadline expired on October 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A Balláb FC a kapott góljaiból 1-et a Jobblábtól kapott, tehát összesen 3-at kapott a másik két csapattól. A Jobbláb FC 3 gólt kapott a Balláb FC-től, tehát 1-et kapott a másik két csapattól. Ezt az 1 gólt a Fejes FC lőtte, hiszen minden mérkőzésükön lőttek gólt. A Sprint és Fejes mérkőzésen tehát összesen \(\displaystyle 4+4-3-1=4\) gól esett. Ezen a mérkőzésen egyik csapat sem nyerhetett, mert akkor valamelyiküknek legalább 3 pontja lenne. Így a mérkőzés eredménye döntetlen, méghozzá 2:2. A másik két csapat őket megverte. A Jobbláb FC összesen 3 gólt rúgott a két 1 pontos csapatnak, és mivel mindkét mérkőzést megnyerte, ezt csak 1 és 2 eloszlásban tehette. Mivel a két győztes meccsén 1 gólt kapott, ezért a két meccs 1:0 és 2:1-es eredménnyel zárult, méghozzá a Fejes FC ellen játszották a 2:1-et, mert tőlük kaptak gólt. A Balláb FC A Sprintnek és a Fejesnek összesen 5 gólt lőtt, és 3-at kapott tőlük. Mivel ez is két győztes meccs volt, ezért ezek vagy 4:3 és 1:0, vagy 3:2 és 2:1 eredménnyel zárultak. Az első változat azonban nem lehet, mert akkor a két vesztes csapatnak nem lehetne azonos kapott gólszáma. Így a táblázatban látható eredményeket könyvelhették el a csapatok:
| Balláb FC | Fejes FC | Jobbláb FC | Sprint FC | |
| Balláb FC | – | 2:1 | 3:1 | 3:2 |
| Fejes FC | 1:2 | – | 1:2 | 2:2 |
| Jobbláb FC | 1:3 | 2:1 | – | 1:0 |
| Sprint FC | 2:3 | 2:2 | 0:1 | – |
Statistics:
184 students sent a solution. 6 points: 59 students. 5 points: 25 students. 4 points: 17 students. 3 points: 19 students. 2 points: 17 students. 1 point: 30 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 11 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019