Problem K. 629. (October 2019)

K. 629. Seven ducklings are walking towards the lake in a single file: Loppy, Happy, Tappy, Kippy, Boppy, Poppy, and Sippy. They normally walk in the same order every day, but this time they lined up in reverse order. Regarding the present order, the following information is available:

The ducklings preceding Loppy could line up in six different ways in a single file.

The number of ducklings preceding Boppy is the half of those following him.

The number of ducklings between Poppy and Tappy is one fewer than twice the number of those between Sippy and Happy.

Happy and Tappy both walk behind Kippy.

What is the normal order of the ducklings walking to the lake?

(6 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Lópi előtt 3 kacsa megy, mert 3 kacsa tud hatféle sorrendbe rendeződni, tehát Lópi a negyedik a sorban. Bipi előtt 2 kacsa megy, mögötte pedig 4, ezért Bipi a harmadik.

Szepi és Hápi között 0, 1, 2 vagy 3 kacsa van, mert ezen számok egy híján kétszerese nem lehet több ötnél. Ha Szepi és Hápi közvetlenül egymás mögött mennének, vagyis 0 kacsa lenne közöttük, akkor Pepi és Tápi között a 0-nál 1-gyel kevesebb kacsa menne, ami lehetetlen. Tehát Szepi és Hápi között legalább 1 kacsa van.

Nézzük a lehetséges elrendezéseket, figyelembe véve Bipi és Lópi megállapított helyzetét:

1. Szepi és Hápi között 1 kacsa van, Pepi és Tápi között 1 (mert ez 1 híján az 1 kétszerese). Szepi és Hápi elhelyezkedése csak kétféle lehet:

Látszik, hogy itt nem fér be Pepi és Tápi úgy, hogy egy kacsa legyen közöttük.

2. Szepi és Hápi között 2 kacsa van, Pepi és Tápi között 3 (mert ez 1 híján a 2 kétszerese). Szepi és Hápi elhelyezkedése itt is csak kétféle lehet:

Így sem fér be Pepi és Tápi úgy, hogy köztük pontosan 3 kacsa legyen.

3. Szepi és Hápi között 3 kacsa van, Pepi és Tápi között 5 (mert ez 1 híján a 3 kétszerese). Pepi és Tápi elhelyezkedése itt csak egyféle lehet, figyelembe véve, hogy Tápi nem lehet első, mert Kepi mögött halad:

Így viszont Szepi és Hápi is csak egyféleképpen helyezhető el, figyelembe véve, hogy Hápi nem lehet második, mert Kepi mögött halad:

És Kepi bekerül a hiányzó helyre.

Tehát a kacsák eredeti sorrendje a sor elejétől a vége felé haladva (hiszen a kapott sorrend fordítottja a szokásos menetrendjük): Tápi, Hápi, Kepi, Lópi, Bipi, Szepi, Pepi.

Statistics:

243 students sent a solution.
6 points:	64 students.
5 points:	44 students.
4 points:	81 students.
3 points:	12 students.
2 points:	10 students.
1 point:	9 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	17 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019