Problem K. 630. (October 2019)

K. 630. A party is breaking up, and everyone is going home. To say goodbye, every female participant shakes hands with every other female participant, and every male participant shakes hands with every other male participant. During this process, a friend of the host turns up, who shakes hands with everyone he knows, males and females alike. Given that 5 of the participating men also brought their wives along, and 83 handshakes took place altogether, what may be the number of persons known by the friend of the host?

(6 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az alábbi táblázatban összefoglaljuk egy adott társaságban lezajló kézfogások számát (ahol mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet) a társaság létszámának függvényében. Mivel 5 házaspár ott volt a partin, ezért legalább 5 férfi és 5 nő is volt a résztvevők között.

A táblázat alapján látható, hogy sem a férfiak, sem a nők önmagukban nem lehetnek 14-en vagy többen. A táblázatból olyan számokat kell keresnünk a nők és férfiak létszámára, melyek összesen legfeljebb 83 kézfogást eredményeznek, és a 83-ig megmaradó kézfogások száma nem több, mint a két csoport együttes létszáma. (A nők és férfiak létszáma a végeredmény szempontjából felcserélhető, így elég csak azt az esetet vizsgálni, amikor legalább annyi férfi van, mint nő.)

Az alábbi táblázatban ezeket a lehetőségeket foglaljuk össze:

A 8+11 eset azért nem lehetséges, mert a betoppanó barát legalább egy embert ismer (a házigazdát). Tehát a betoppanó barátnak 2, 7, 10, 11, 13 vagy 17 ismerőse lehet a vendégek között.

Statistics:

145 students sent a solution.
6 points:	51 students.
5 points:	19 students.
4 points:	8 students.
3 points:	14 students.
2 points:	17 students.
1 point:	9 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019