Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 632. feladat (2019. október)

K. 632. Egy apa egy kosár szilvát osztott szét a fiai között a következő módon: az elsőnek adott 2-t, és a maradék \(\displaystyle n\)-ed részét, a másodiknak 4-et és a maradék \(\displaystyle n\)-ed részét, a harmadiknak 6-ot és a maradék \(\displaystyle n\)-ed részét, és így tovább. Az utolsó részt magának tartotta meg. Az osztozkodás végére az derült ki, hogy mindenki egyforma mennyiségű szilvát kapott. Mennyi legyen \(\displaystyle n\) értéke, hogy a fenti osztozkodás megvalósítható legyen, ha legalább 2 fia van az apának?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az összes szilva száma \(\displaystyle x\). Ekkor a következő egyenletet írhatjuk fel:


\(\displaystyle 2+\frac{x-2}{n}=4+\frac{x-2-\frac{x-2}{n}-4}{n}\), ahol az egyenlet bal oldala az első, a jobb oldala a második fiúnak adott szilvák száma.


Szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle n\)-el:


\(\displaystyle 2n+x-2=4n+x-6-\frac{x-2}{n}\). Rendezzük 0-ra az egyenletet:


\(\displaystyle 2n-4-\frac{x-2}{n}=0\). Szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle n\)-el:


\(\displaystyle 2n^2-4n-x+2=0\). Adjunk hozzá mindkét oldalhoz \(\displaystyle x\)-et:


\(\displaystyle x=2n^2-4n+2=2(n-1)^2\). Így megkapjuk \(\displaystyle x\) értékét \(\displaystyle n\)-ből.

1. módszer a továbbiakra. Az első fiú \(\displaystyle \frac{2n+2n^2-4n+2-2}{n}=\frac{2n^2-2n}{n}=2n-2=2(n-1)\) darabot kapott. Mivel mindenki ugyanannyit kap, ezért a szilvákat \(\displaystyle \frac{2(n-1)^2}{2(n-1)}=n-1\)-felé osztották, ezért az apát leszámítva \(\displaystyle n–2\) fiú van.

Meg kell még mutatnunk, hogy az osztozkodás ezekből a darabszámokból kiindulva a kívánt elosztást eredményezi.

Az első és a második fiú egyformán \(\displaystyle 2(n–1)\) darabot kapott. A harmadik fiúhoz érve még \(\displaystyle 2(n-1)^2-2\cdot2(n-1)=2(n-1)(n-1-2)=2(n-1)(n-3)\) darab szilva van. Ebből ő \(\displaystyle 6+\frac{2(n-1)(n-3)-6}{n}=\frac{6n-6+2(n-1)(n-3)}{n}=\frac{2\cdot3(n-1)+2(n-1)(n-3)}{n}= \frac{2(n-1)(n-3+3)}{n}= 2(n-1)\) szilvát kap.

Hasonlóan továbbhaladva a \(\displaystyle k\)-adik fiú után még \(\displaystyle 2(n-1)^2-k\cdot2(n-1)=2(n-1)(n-1-k)\) szilva maradt, így a \(\displaystyle k+1\)-edik fiú \(\displaystyle 2(k+1)+\frac{2(n-1)(n-(k+1))-2(k+1)}{n}=\frac{2(k+1)n-2(k+1)+2(n-1)(n-(k+1))}{n}= \frac{(2(k+1)(n-1)+2(n-1)(n-(k+1))}{n}=\frac{2(n-1)(k+1+n-(k+1))}{n}=\frac{2(n-1)n}{n}=2(n-1)\) szilvát kap. A fiúk elfogytával az apának is ennyi marad, mert \(\displaystyle n-1\) ilyen részből áll az összes szilva mennyisége, és a fiúk ebből \(\displaystyle n–2\) részt visznek el.

2. módszer a továbbiakra. Felírhatunk még egy egyenletet, ahol az első fiúnak adott szilvák száma egyenlő az apának megmaradt utolsó résszel:


\(\displaystyle 2+\frac{x-2}{n}=2+\frac{2n^2-4n+2-2}{n}=\frac{x}{y}=\frac{2(n-1)^2}{y}\), ahol \(\displaystyle y\) azt jelöli, ahányfelé a szilvákat elosztották (fiúk száma + 1 (az apa)).


Szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle n\)-el:


\(\displaystyle 2n+2n^2-4n=2n(n-1)=\frac{2n(n-1)^2}{y}\). Osszuk el mindkét oldalt \(\displaystyle 2n(n-1)\)-el:


\(\displaystyle 1=\frac{n-1}{y}\). Szorozzuk mindkét oldalt \(\displaystyle y\)-al:


\(\displaystyle y=n-1\). Így megkaptuk \(\displaystyle y\) értékét \(\displaystyle n\)-ből.

Így már tudjuk, hogy \(\displaystyle n\) értéke a fiúk számánál 2-vel több (\(\displaystyle n=f+2\), ahol \(\displaystyle f\) a fiúk számát jelöli). Szintén tudjuk, hogy \(\displaystyle x=2(n-1)^2\), tehát \(\displaystyle x=2(f+1)^2\).


Pl. 2 fiú esetén \(\displaystyle n=4\), összesen \(\displaystyle 2(2+1)^2=18\) szilva van, így az első fiú \(\displaystyle 2+\frac{18-2}{4}=6\) szilvát kap, a második \(\displaystyle 4+\frac{18-2-4-4}{4}=6\) szilvát kap, és így pont \(\displaystyle \frac{18}{2+1}=18-6-6=6\) szilva marad az apának.

Be kell még látni, hogy ez tetszőleges \(\displaystyle f\) esetén megvalósítható. Tudjuk, hogy \(\displaystyle n=f+2\) és \(\displaystyle x=2(f+1)^2=2f^2+4f+2\).

Az első gyerek ekkor
\(\displaystyle 2+\frac{2f^2+4f+2-2}{f+2}=2+\frac{2f(f+2)}{f+2}=f+2\) szilvát kap.

A második gyerek
\(\displaystyle 2\cdot2+\frac{2f^2+4f+2-(2f+2)-2\cdot2}{f+2}=4+\frac{2f^2+2f-4}{f+2}=4+\frac{2f^2+4f-(2f+4)}{f+2}=4+2f-2=2f+2\) szilvát kap.

Bizonyítsuk teljes indukcióval, hogy az \(\displaystyle m\)-edik gyerek is \(\displaystyle 2f+2\) darab szilvát kap. Láttuk, hogy \(\displaystyle m=1\) és \(\displaystyle m=2\) esetén az állítás igaz. Tegyük fel, hogy az állítás igaz minden \(\displaystyle m\leq k\) esetén, ezt felhasználva belátjuk, hogy \(\displaystyle m=k+1\) esetén is teljesül.

A feltétel szerint a \(\displaystyle k+1\). gyerek által kapott szilvák száma ekkor:
\(\displaystyle 2(k+1)+\frac{2f^2+4f+2-k(2f+2)-2(k+1)}{f+2}=2k+2+\frac{(2f^2+4f)-(2kf+4k)}{f+2}=2k+2+2f-2k=2f+2\).

Az állítás igaz \(\displaystyle m=k+1\) esetén is, az indukciót befejeztük.

Tehát \(\displaystyle n\) értéke a fiúk számánál 2-vel több, az összes szilva száma a fiúk számánál 1-gyel nagyobb szám négyzetének a kétszerese, és a fiúk száma legalább 2, hogy az osztozkodás megvalósítható legyen.

Kurucz Márton, 9. o. t (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn.) megoldását felhasználva


Statisztika:

A K. 632. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai