Problem K. 632. (October 2019)

K. 632. A father had a basket of plums. He gave the plums to his sons in the following way: the first son received 2 pieces plus one \(\displaystyle n\)th of the remaining plums, then the second son received 4 pieces plus one \(\displaystyle n\)th of the remaining plums, then the third one received 6 pieces plus one \(\displaystyle n\)th of the remaining plums, and so on. The rest of the plums the father kept for himself. At the end of this process, it turned out that everyone got the same number of plums. Given that the father had at least 2 sons, what may be the value of \(\displaystyle n\)?

(6 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az összes szilva száma \(\displaystyle x\). Ekkor a következő egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle 2+\frac{x-2}{n}=4+\frac{x-2-\frac{x-2}{n}-4}{n}\), ahol az egyenlet bal oldala az első, a jobb oldala a második fiúnak adott szilvák száma.

Szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle n\)-el:

\(\displaystyle 2n+x-2=4n+x-6-\frac{x-2}{n}\). Rendezzük 0-ra az egyenletet:

\(\displaystyle 2n-4-\frac{x-2}{n}=0\). Szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle n\)-el:

\(\displaystyle 2n^2-4n-x+2=0\). Adjunk hozzá mindkét oldalhoz \(\displaystyle x\)-et:

\(\displaystyle x=2n^2-4n+2=2(n-1)^2\). Így megkapjuk \(\displaystyle x\) értékét \(\displaystyle n\)-ből.

1. módszer a továbbiakra. Az első fiú \(\displaystyle \frac{2n+2n^2-4n+2-2}{n}=\frac{2n^2-2n}{n}=2n-2=2(n-1)\) darabot kapott. Mivel mindenki ugyanannyit kap, ezért a szilvákat \(\displaystyle \frac{2(n-1)^2}{2(n-1)}=n-1\)-felé osztották, ezért az apát leszámítva \(\displaystyle n–2\) fiú van.

Meg kell még mutatnunk, hogy az osztozkodás ezekből a darabszámokból kiindulva a kívánt elosztást eredményezi.

Az első és a második fiú egyformán \(\displaystyle 2(n–1)\) darabot kapott. A harmadik fiúhoz érve még \(\displaystyle 2(n-1)^2-2\cdot2(n-1)=2(n-1)(n-1-2)=2(n-1)(n-3)\) darab szilva van. Ebből ő \(\displaystyle 6+\frac{2(n-1)(n-3)-6}{n}=\frac{6n-6+2(n-1)(n-3)}{n}=\frac{2\cdot3(n-1)+2(n-1)(n-3)}{n}= \frac{2(n-1)(n-3+3)}{n}= 2(n-1)\) szilvát kap.

Hasonlóan továbbhaladva a \(\displaystyle k\)-adik fiú után még \(\displaystyle 2(n-1)^2-k\cdot2(n-1)=2(n-1)(n-1-k)\) szilva maradt, így a \(\displaystyle k+1\)-edik fiú \(\displaystyle 2(k+1)+\frac{2(n-1)(n-(k+1))-2(k+1)}{n}=\frac{2(k+1)n-2(k+1)+2(n-1)(n-(k+1))}{n}= \frac{(2(k+1)(n-1)+2(n-1)(n-(k+1))}{n}=\frac{2(n-1)(k+1+n-(k+1))}{n}=\frac{2(n-1)n}{n}=2(n-1)\) szilvát kap. A fiúk elfogytával az apának is ennyi marad, mert \(\displaystyle n-1\) ilyen részből áll az összes szilva mennyisége, és a fiúk ebből \(\displaystyle n–2\) részt visznek el.

2. módszer a továbbiakra. Felírhatunk még egy egyenletet, ahol az első fiúnak adott szilvák száma egyenlő az apának megmaradt utolsó résszel:

\(\displaystyle 2+\frac{x-2}{n}=2+\frac{2n^2-4n+2-2}{n}=\frac{x}{y}=\frac{2(n-1)^2}{y}\), ahol \(\displaystyle y\) azt jelöli, ahányfelé a szilvákat elosztották (fiúk száma + 1 (az apa)).

Szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle n\)-el:

\(\displaystyle 2n+2n^2-4n=2n(n-1)=\frac{2n(n-1)^2}{y}\). Osszuk el mindkét oldalt \(\displaystyle 2n(n-1)\)-el:

\(\displaystyle 1=\frac{n-1}{y}\). Szorozzuk mindkét oldalt \(\displaystyle y\)-al:

\(\displaystyle y=n-1\). Így megkaptuk \(\displaystyle y\) értékét \(\displaystyle n\)-ből.

Így már tudjuk, hogy \(\displaystyle n\) értéke a fiúk számánál 2-vel több (\(\displaystyle n=f+2\), ahol \(\displaystyle f\) a fiúk számát jelöli). Szintén tudjuk, hogy \(\displaystyle x=2(n-1)^2\), tehát \(\displaystyle x=2(f+1)^2\).

Pl. 2 fiú esetén \(\displaystyle n=4\), összesen \(\displaystyle 2(2+1)^2=18\) szilva van, így az első fiú \(\displaystyle 2+\frac{18-2}{4}=6\) szilvát kap, a második \(\displaystyle 4+\frac{18-2-4-4}{4}=6\) szilvát kap, és így pont \(\displaystyle \frac{18}{2+1}=18-6-6=6\) szilva marad az apának.

Be kell még látni, hogy ez tetszőleges \(\displaystyle f\) esetén megvalósítható. Tudjuk, hogy \(\displaystyle n=f+2\) és \(\displaystyle x=2(f+1)^2=2f^2+4f+2\).

Az első gyerek ekkor
\(\displaystyle 2+\frac{2f^2+4f+2-2}{f+2}=2+\frac{2f(f+2)}{f+2}=f+2\) szilvát kap.

A második gyerek
\(\displaystyle 2\cdot2+\frac{2f^2+4f+2-(2f+2)-2\cdot2}{f+2}=4+\frac{2f^2+2f-4}{f+2}=4+\frac{2f^2+4f-(2f+4)}{f+2}=4+2f-2=2f+2\) szilvát kap.

Bizonyítsuk teljes indukcióval, hogy az \(\displaystyle m\)-edik gyerek is \(\displaystyle 2f+2\) darab szilvát kap. Láttuk, hogy \(\displaystyle m=1\) és \(\displaystyle m=2\) esetén az állítás igaz. Tegyük fel, hogy az állítás igaz minden \(\displaystyle m\leq k\) esetén, ezt felhasználva belátjuk, hogy \(\displaystyle m=k+1\) esetén is teljesül.

A feltétel szerint a \(\displaystyle k+1\). gyerek által kapott szilvák száma ekkor:
\(\displaystyle 2(k+1)+\frac{2f^2+4f+2-k(2f+2)-2(k+1)}{f+2}=2k+2+\frac{(2f^2+4f)-(2kf+4k)}{f+2}=2k+2+2f-2k=2f+2\).

Az állítás igaz \(\displaystyle m=k+1\) esetén is, az indukciót befejeztük.

Tehát \(\displaystyle n\) értéke a fiúk számánál 2-vel több, az összes szilva száma a fiúk számánál 1-gyel nagyobb szám négyzetének a kétszerese, és a fiúk száma legalább 2, hogy az osztozkodás megvalósítható legyen.

Kurucz Márton, 9. o. t (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn.) megoldását felhasználva

Statistics:

82 students sent a solution.
6 points:	Besze Zsolt, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Deme Erik, Fürész Tibor, Gál Csaba, Karádi Virág, Kedves Benedek János, Kurucz Márton, Laukó Zoltán, Nagy László Zsolt, Pekk Márton, Radzik Réka, Sallai Péter, Schleier Anna , Slézia Dávid, Somlai Dóra, Takács Imola, Vankó Lóránt Albert, Waldhauser Miklós.
5 points:	Atanaszov Hedvig, Cziráki Boglárka, Hajós Balázs, Havrán Márk, Kmeczó András, Morvai Eliza, Sipeki Márton, Szirtes Hanna, Viczián Dániel.
4 points:	6 students.
3 points:	17 students.
2 points:	5 students.
1 point:	13 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019