Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 634. feladat (2019. november)

K. 634. Egy négyzetrácsos papíron egységoldalú négyzetek vannak. Rácsvonalak mentén kijelölünk egy téglalapot. Szeretnénk egy olyan zárt töröttvonalat rajzolni a téglalapba a rácsvonalakon haladva, hogy az a téglalapból ne lépjen ki, de az összes olyan rácsponton pontosan egyszer menjen át, amely a téglalap belsejébe vagy a határára esik. Meg tudjuk-e rajzolni a kívánt töröttvonalat, ha a téglalap mérete:

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 2019\times2020\) egység;

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2018\times2020\) egység?

Adjuk meg a lehetséges töröttvonalak hosszát is.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a kívánt módon rajzoljuk a töröttvonalat, akkor ennek hossza páros lesz. Ugyanis a téglalap egyik szemközti oldalpárjával párhuzamosan mindkét irányban pontosan ugyanannyit kell haladnunk, hogy visszaérjünk a kezdőpontba, ugyanígy a másik oldalpárral párhuzamos haladásra is ez érvényes. Ha a töröttvonal minden rácsponton pontosan egyszer megy át, akkor hossza éppen a rácspontok számával egyezik meg (mert minden rácspontból indulva pontosan egyszer rajzolunk egy egységnyi hosszúságú szakaszt, míg vissza nem érünk a kezdőpontba). Az a) esetben a rácspontok száma \(\displaystyle 2020\cdot2021\), a töröttvonal megrajzolása az alábbi ábrán rajzolt töröttvonallal analóg módon lehetséges (a \(\displaystyle 2020\) egység hosszú oldal a vízszintes oldalnak felel meg, ezzel párhuzamosan haladnak a hosszú vonalak):

A b) esetben a rácspontok száma \(\displaystyle 2019\cdot2021\), ami páratlan, ezért a töröttvonal megrajzolása nem lehetséges.


Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Abonyi Bence, Besze Zsolt, Deme Erik, Hajós Balázs, Havasi Marcell Milán, Képiró Árpád Zsolt, Kurucz Márton, Mészáros Anna Veronika, Nemeskéri Dániel, Pekk Márton, Pulics Martin, Sipos Dorka, Somlai Dóra, Waldhauser Miklós.
5 pontot kapott:Atanaszov Hedvig, Bálint Béla, Borján Gergő, Csintalan Gergely, Csomor Kata, Cziráki Boglárka, Deák Botond, Erdei Zora Vanda, Gál Csaba, Hajdu Erik, Hargitai Martin Ottó, Herendi Réka, Jakusch Tamás, Jaskó Martin Csaba, Jójárt Emese, Kárász Hanna, Kiss-Beck Tamara, Kormányos Kristóf, Morvai Eliza, Nagy 999 Csanád, ÖKÖRDI LAURA, Polgár Sándor Bendegúz, Sachs Beáta, Süveges Gergő, Szabó Viktória, Szirtes Hanna, Szpisják Bence Tibor, Tóth Gréta, Vaszilievits-Sömjén Villő, Zierer Fanni.
4 pontot kapott:13 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:9 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai