Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 634. (November 2019)

K. 634. A sheet of graph paper has a grid of unit squares on it. A rectangle is drawn with sides lying along grid lines. Is it possible to draw a closed broken line in the rectangle along grid lines such that it should never leave the rectangle but it should pass through all the grid points in the interior and on the boundary of the rectangle, if the dimensions of the rectangle are

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 2019\times2020\) units;

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2018\times2020\) units?

If so, determine the length of the possible broken lines, too.

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a kívánt módon rajzoljuk a töröttvonalat, akkor ennek hossza páros lesz. Ugyanis a téglalap egyik szemközti oldalpárjával párhuzamosan mindkét irányban pontosan ugyanannyit kell haladnunk, hogy visszaérjünk a kezdőpontba, ugyanígy a másik oldalpárral párhuzamos haladásra is ez érvényes. Ha a töröttvonal minden rácsponton pontosan egyszer megy át, akkor hossza éppen a rácspontok számával egyezik meg (mert minden rácspontból indulva pontosan egyszer rajzolunk egy egységnyi hosszúságú szakaszt, míg vissza nem érünk a kezdőpontba). Az a) esetben a rácspontok száma \(\displaystyle 2020\cdot2021\), a töröttvonal megrajzolása az alábbi ábrán rajzolt töröttvonallal analóg módon lehetséges (a \(\displaystyle 2020\) egység hosszú oldal a vízszintes oldalnak felel meg, ezzel párhuzamosan haladnak a hosszú vonalak):

A b) esetben a rácspontok száma \(\displaystyle 2019\cdot2021\), ami páratlan, ezért a töröttvonal megrajzolása nem lehetséges.


Statistics:

134 students sent a solution.
6 points:Abonyi Bence, Besze Zsolt, Deme Erik, Gardev Dániel, Gere Gábor, Hajós Balázs, Hartmann Botond, Havasi Marcell Milán, Képiró Árpád Zsolt, Könye Nátán, Kurucz Márton, Mészáros Anna Veronika, Nagy Mihály Gyula, Nemeskéri Dániel, Pekk Márton, Pulics Martin, Sipos Dorka, Somlai Dóra, Vankó Lóránt Albert, Varga 326 Sebestény, Waldhauser Miklós, Welther Károly.
5 points:34 students.
4 points:16 students.
3 points:14 students.
2 points:12 students.
1 point:10 students.
0 point:17 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019